Equation fonctionnelle

[ffpower]

(Je vous en prie, inutile de me féliciter pour l'originalité de mon titre)

Trouver les bijections dérivables de vérifiant .

[capitaine nuggets]

Bonjour !

J'ai essayé de voir ça et je n'ai trouvé aucune fonction vérifiant cela pour l'instant.
A mon avis, il n'y a aucune solution (ai-je bon ?).

[Doraki]

nan il y a au moins une solution.

[chan79]

Bonjour !

J'ai essayé de voir ça et je n'ai trouvé aucune fonction vérifiant cela pour l'instant.
A mon avis, il n'y a aucune solution (ai-je bon ?).

tu peux en trouver une de la forme f(x)=k

[ffpower]

Précisons que k et n ne sont pas des entiers :we:

[chan79]

Précisons que k et n ne sont pas des entiers :we:

effectivement, le n que je trouve est le nombre d'or

[benekire2]

Hum... je pense qu'il faut commencer par résoudre et peut après on fera le tri.

[Doraki]

si on cherche les solutions analytiques il doit pas y en avoir beaucoup.

A part 0, f a un autre point fixe ; autour de ce point fixe on peut faire le DL de f et à partir de f sur un intervalle ouvert autour du point fixe, on en déduit f partout.
Donc selon le point fixe on a une unique solution analytique.
Mais je doute que toutes ces solutions aterrissent à (0,0). Donc doit y en avoir qu'une qui soit analytique (celle qu'on a déjà trouvée).

[mathieuH]

Bonsoir,

poser simplement g=f².

Mathieu

[adrien69]

Salut,
On pourrait peut-être ici se servir de la densité des fonctions analytiques dans l'ensemble des fonctions dérivables (qui découle du théorème de Stone-Weierstrass).
Ainsi, si f vérifie cette équa-diff, on peut trouver une suite de fonctions Fn analytiques, qui convergent (au sens d'une norme bien choisie) vers f. Et montrer qu'à partir d'un certain rang elles sont très proches de la solution analytique du problème (et donc que cette solution est une valeur d'adhérence de la suite). On en déduirait que f ne pourrait être que cette fonction analytique.

Ça vous semble faisable ?

Je vois bien comme norme N, si on appelle M la norme uniforme N(f)=M(f')+M(f)

p-s. Par analytique j'entends somme de puissances non nécessairement entières

[ffpower]

Allez hop, je met le plan de la solution (dsl d'avoir laissé moisir le topic)

Soit assez grand. On vérifie sans peine que . Soit une constante telle que pour ( existe car )..

On en déduit alors que pour , donc pour . Ce qui donne donc donc, en intégrant entre 0 et x, pour .

Puis on poursuis la même méthode: donc donc intégrant .

En poursuivant ce procédé, on définit deux suites et par des relations de reccurence explicites, telles que si n pair, si n impair. (pour )

Une petite étude de suite plus loin, on constate que et convergent vers des réels A, B absolus(correspondant à la solution trouvée queques posts plus haut), et on conclut ainsi que pour tout , puis pour tout , M étant arbitraire.