Inégalité a,b,c>0

[robin]

Bonjour, voici une jolie inégalité :
Soient a, b et c trois réels strictements positifs tels que . Montrer que :
.

[puppy-dog]

je suis debutante en equations et je n'ai meme jamais fais de inequations (si c'est une inequation) mais comment est-il possible que le produit de 3 sommes dont les termes sont positifs est égal à 1 ???

[Flodelarab]

x

[puppy-dog]

ah oui ^^ lol

[Huit]

Bonsoir, j'ai peut-être un semblant de réponse.

Il faut avant tout remarquer qu'un produit de trois termes ne peut-être égal à 1 que si un ou deux de ces termes seulement sont inférieurs à 1.
En effet si tous les termes sont strictements supérieurs à 1, leur produit ne peut-être égal 1 et inversement, si tous les termes sont strictement inférieurs à 1, leur produit ne peut être égal à 1.

Plus clairement, il faut distinguer deux cas :
- Un terme est supérieur ou égal à 1, les deux autres sont inférieurs ou égaux à 1
- Deux termes sont supérieurs ou égaux à 1, l'autre est inférieur ou égal à 1

Ces trois termes ont ici un rôle symétrique, c'est à dire que choisir que reviens au même que si l'on choisissait ou .




car
---------------------------------------------------------------------
1er cas : , , (arbitrairement)
Par addition membre à membre des inégalités,

D'où
--------------------------------------------------------------------
2ème cas : , , (arbitrairement)
De ces inégalités, on obtient par addition et soustraction :

D'où, après simplification,
--------------------------------------------------------------------
Dans les deux cas, on a
Il en vient (1)

Or
(2)

De (1) et (2) on tire ainsi



Bonne nuit !

[nada-top]

Hola
je suis peut etre pas de ton niveau mais tu veux me dire que de (1) et (2) tu as déduit le résultat.. :soupir2: ..et ben c faux tout ce que tu peux en déduire ce que (et c'etait pas la peine de faire tous ça pour le remarquer )..révise ton encadrement

[Huit]

Merci de m'avoir corrigé !
Tu as raison, j'ai fait une bêtise.. une très grosse bêtise !
Quel encadrement dois-je réviser ?
Je réessayerai ce soir quand j'aurais le temps.

[robin]

Voici un indice en blanc :
1=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc.

[nada-top]

merci pour ton indice en blanc :ptdr: voila une reponse dont je ne suis pas sure car elle parait un peu banale.. :hein:
et la dernière proposition est vraie car d'ou on conclut. :doh: donc ou est l'erreur?? :hein: (je crois que c'est la dernière implication)

[nada-top]

:--: ahhh ..je crois que je peux pas en deduire car c'est un raisonnement par equivalence et il y a une implication entre les 2 dernière propositions :mur:

[aviateurpilot]

..je crois que je peux pas en deduire car ...une implication

oui
tu ne peux pas deduire

[nada-top]

ni hao :we:
une toute petite question pour régler mon raisonnement : je sais que et est-ce que j'ai le droit de dire que cela ??
merci pour votre réponse :we:

[aviateurpilot]

oui tu peux

[robin]

Bonsoir,
Il est faux de dire que car
1=(a+b)(b+c)(c+a) 8abc.

[nada-top]

ok merci aviateurpilot mnt je vais essayer de formuler une reponse plus logique :zen:

[nada-top]

bonsoir
alors robin ou est l'erreur dans mon raisonnement :triste:

[nada-top]

tu es d'accord avec moi à propos de et ou pas??

[kazeriahm]

j'ai pas suivi le sujet mais a supposer que ces deux inegalites soient vraies, tu ne peux pas en deduire que abc>1/8...

x>y et x>z. Et ensuite? y>z, z>y? tu ne peux rien deduire directement

[nada-top]

HOLA
mais le cas d'egalité est toujours existant dans les deux inégalités :hein:

[nada-top]

Hola :we:
donc voilà une autre réponse qui me parait plus banale que la 1ère :doh:
on a donc et on a donc d'ou c'est ça :doh: :doh: :doh: :dodo: