Espace de fonction

[zork]

Bonjour,

dans un espace de fonction continue, quelle est la définition d'une suite de Cauchy

est ce:

pour tout , il existe no dans N, pour tout n dans N, n>=no=>


merci

[Yann64]

pour tout epsilon > 0 il existe n_0 dans IN pour tous p,q >= n_0

[zork]

j'ai pensé au début que c'était ca

mais après j'ai eu un doute puisque dans un exo, on emploie la définition que j'ai donné

gn dans C^1([-1,1],R)

gn(x)=(nx²)/2 +1/(2n) si |x|<1/n
|x| si x>=1/n


Montrer que (gn) est de cauchy

[sabaga]

[Doraki]

C'est quoi f dans la définition que t'as donnée ?

[zork]

c'était la limite de la suite (fn)

[zork]

A sabaga

aurait on pu majorer comme cela:
<=|(qx²)/2+1/2q|<=(qx²+1)/2

du coup pour avoir on choisit

[zork]

en faites, pour
gn dans C^1([-1,1],R)

gn(x)=(nx²)/2 +1/(2n) si |x|<1/n
|x| si x>=1/n


on montrer qu'elle converge uniformément vers |x| et du coup elle est de cauchy

mais comment trouve-t-on le sup|gn(x)-|x||
dans la correction on dit que c'est 1/(2n) mais comment on l'a trouvé?

[Doraki]

Peut-être en étudiant la fonction gn(x) - |x| sur [-1;1]

[zork]

oui

mais on ne peut pas étudier ces variations à cause de |x|

[Doraki]

je vois pas en quoi ça gêne ?
Tu peux étudier séparément sur [-1;0] et sur [0;1] et recoller à la fin.

[zork]

oui c'est vrai
merci