Contenu d'un polynome

[RyanB]

Bonjour à tous,

Une question me pose problème dans un exercice.

Je dois dire si le polynôme P(X,Y)=4Y(X^4)+2Y²-2 dans Z[Y][X]est réductible.

J'utilise le critère d'Eisenstein avec k=Y-1 (irréductible dans Z[X]),
j'obtiens que P est irréductible dans Q[X]

Ensuite je dois montrer que P est irréductible dans Q[Y][X] et réductible dans Z[Y][X],

j'utilise le fait que P irréductible s'il est primitif (donc son contenu=pgcd(4Y,2Y²-2)=1)

Ma question est donc, pourquoi ce contenu=1 dans Q[Y] et non dans Z[Y], si vous pouviez me donner le calcul, ça m'aiderait beaucoup.

Merci d'avance pour vos réponses.

[leon1789]

Je dois dire si le polynôme P(X,Y)=4Y(X^4)+2Y²-2 dans Z[Y][X]est réductible.

J'utilise le critère d'Eisenstein avec k=Y-1 (irréductible dans Z[X]),
j'obtiens que P est irréductible dans Q[X].

Là, tu te mélanges les pinceaux entre Y et X, Q[X] et Q[Y][X] et Z[Y][X]

[leon1789]

Je dois dire si le polynôme P(X,Y)=4Y(X^4)+2Y²-2 dans Z[Y][X]est réductible.

J'utilise le critère d'Eisenstein avec k=Y-1 (irréductible dans Z[X]),
j'obtiens que P est irréductible dans Q[X].

Là, tu te mélanges les pinceaux entre Y et X, Q[X] et Q[Y][X] et Z[Y][X]

[RyanB]

Effectivement, je crois que je suis un peu perdu en fait.

Cela dit, je ne comprends pas comment je peux avoir un contenu différent pour un même polynôme dans Q[X] et Z[X].

[Doraki]

Il est réductible dans Z[X][Y] parceque P = 2 * (2YX^4+Y²-1) et que 2 n'est pas inversible dans Z.
Dans Q[X][Y], 2 est inversible donc il ne compte pas, et P est alors irréductible.

Le contenu est défini à un inversible près, et dans Q il y a beaucoup plus d'inversibles que dans Z.

[RyanB]

J'ai compris, merci beaucoup pour votre aide!

Bonne fin de journée (à moins que j'ai d'autres questions qui me viennent :lol3: )