Diamètre

[zork]

Bonjour,

Soit (E,||.||) un espace vectoriel normé sur R et soit A une partie bornée non vide de E
adh(A) est bornée

Montrer que d(adh(A)) inclus d(A)

d(adh(A)) =sup(d(x,y) avec x,y dans adh(A))

soit xn dans A tel que limxn=x
soit yn dans A tel que limyn=y

d(xn,yn)<=d(xn,x)+d(x,y)+d(yn,y)

mais après comment avoir ce que je veux?


merci

[leon1789]

Montrer que d(adh(A)) inclus d(A)

inclus ???

[zork]

en faites c'est moi qui ait écrit cette question;
du coup ca doit plutôt être diam(adh(A))<=diam(A)

[leon1789]

je dirais plus précisément diam(adh(A)) = diam(A) , non ?

[leon1789]

d(xn,yn)<=d(xn,x)+d(x,y)+d(yn,y)

mais après comment avoir ce que je veux?

et si tu passes à la limite ?

Et puis on a aussi d(x,y)<=d(x,xn)+d(xn,yn)+d(yn,y)

[zork]

oui mais j'ai déjà trouvé d(A)<=d(adh(A))

[leon1789]

adh(A) est compact : connais-tu la notion de "compact" ?

si oui, sais-tu qu'il existe x,y dans adh(A) tels que d(x,y) = adh(A) ?

[zork]

en faites j'aimerai avoir la démo avec les suites

[leon1789]

avec des suites et des epsilons alors ?

Il faut reprendre la définition de la borne sup et l'appliquée à
diam ( adh(A) ) = sup{ d(x,y) | x,y dans adh(A) }

[leon1789]

avec des suites et des epsilons alors ?

Il faut reprendre la définition de la borne sup et l'appliquée à
diam ( adh(A) ) = sup{ d(x,y) | x,y dans adh(A) }

[Le_chat]

Pas sur que Adh(A) soit compact, non? On a pas d'info sur la dimension de l'espace de base.

Sinon:

Tu prends (x, y) dans adh(A) et (xn), (yn) dans A qui tendent vers x et y. d(xn,yn) est plus petit que diam(A) par définition, donc...

[zork]

dans mon premier post je suis arrivé à

d(xn,yn)<=d(xn,x)+d(x,y)+d(yn,y)


mais comment avoir le diamètre de A?

[Le_chat]

Je ne pense pas qu'on ait besoin de l'inégalité triangulaire. Si tu prends x et y dans adh(A), montre que d(x,y) est inférieur à diam(A).

[zork]

c'est ce que j'ai essayé de faire avec l'inégalité triangulaire

[leon1789]

dans mon premier post je suis arrivé à

d(xn,yn)<=d(xn,x)+d(x,y)+d(yn,y)


mais comment avoir le diamètre de A?

c'est d(x,y) <= d(x, xn)+d(xn,yn)+d(yn,y) <= d(x, xn)+diam(A)+d(yn,y) qu'il faut utiliser.

[zork]

ok c'est bon
merci