Sommer encore et toujours

[Nerra]

Hello,

Je poste ça dans énigme à tout hasard ... je ne sais pas si c'est la bonne place :triste: .

Je suppose que si je vous demande de me donner la somme des 1 000 000 premiers nombres, vous saurez quasiment tous me répondre (1 + 2 + 3 + ... + 999 999 + 1 000 000 = ?).
Ce n'est pas ça qui m'intéresse ici.

On va quand même prendre les 1 000 000 premiers nombres, mais cette fois on va sommer leurs chiffres. Ainsi, on ne va pas écrire, par exemple 283 + 284 + 285 = ... mais bien 2 + 8 + 3 + 2 + 8 + 4 + 2 + 8 + 5 = ...

Que vaut la somme des chiffres des 1 000 000 premiers nombres naturels consécutifs ?

Avant de donner votre méthode (aussi longue soit-elle), donnez juste votre réponse, faut faire durer le plaisir pour ceux qui auraient envie de tenter leur chance :we: . Et ça obligera les autres à chercher plutôt qu'à seulement lire une solution :zen: .

Enjoy,

Nerra


ps : je suis preneur de toute question dans ce style ... donc hésitez pas à m'en faire part, ça m'amusera ... comme calculer la somme des 1000 premiers cubes / déterminer combien de puissance de 2 il y a dans 1000! (ex : 5! = 5*4*3*2*1, il y a donc 3 puissances de 2 dans 5!) / même question mais généraliser à n! / ...

[Galax]

6*100000*45+1

[nodjim]

Les 2 questions suivantes proposées sont à peine plus difficiles que la 1ère.

[Nerra]

Je n'ai jamais dit que c'était compliqué.

Quoique, celle des puissances de 2 c'est pas si facile que ça. Il faut quand même réfléchir un minimum. Mais peut-être as-tu eu une illumination et veux-tu nous en faire part ?

Je suis curieux de voir ce que tu as trouvé pour le nombre de puissances de 2 pour n! .

[Le_chat]

Dans le produit, on compte les nombres qui vont apporter au moins un "2". Il y a 2, 4, 6.. bref tous les nombres pairs. Il y en a E(n/2) (E désigne la partie entière).

De la même façon, ceux qui apportent au moins deux "2" sont 4, 8... tous les multiples de 4, il y en a E(n/4), etc...

En généralisant, il y a E(n/2^p) nombres entre 1 et n qui apportent au moins p "2" dans le produit.

Et donc il y a E(n/2^p)-E(n/2^(p+1)) nombres entre 1 et n qui apportent exactement p "2" dans le produit ( ceux qui en apportent exactement p sont ceux qui en apportent au moins p et qui n'en apportent pas au moins p+1).

Et donc au final le nombre de 2 est 1*(E(n/2)-E(n/4))+2*(E(n/4)-E(n/8))+3*(E(n/8)-E(n/16))+...=E(n/2)+E(n/4)+...+E(n/2^k) où k est la valuation 2 adique de n.

Mais bon c'est clair que c'est plus dur que les autres questions.