Orbites de groupe

[wonderfuldream]

Bonjour , je viens de commencer le cours sur les actions de groupes et je n'arrive pas du tout a résoudre mon exercice , si quelqu'un pourrait m'aider , merci

Soit G un groupe fini . Soit p le plus petit facteur premier de l'ordre de G . Soit H un sous groupe de G d'indice p>1.

(1) Montrer que les orbites de l'action de H sur G/H par translation à gauche sont réduites à des singletons .
(2) Montrer que H est un sous groupe normal de G .

voila

[cuati]

Bonjour , je viens de commencer le cours sur les actions de groupes et je n'arrive pas du tout a résoudre mon exercice , si quelqu'un pourrait m'aider , merci

Soit G un groupe fini . Soit p le plus petit facteur premier de l'ordre de G . Soit H un sous groupe de G d'indice p>1.

(1) Montrer que les orbites de l'action de H sur G/H par translation à gauche sont réduites à des singletons .
(2) Montrer que H est un sous groupe normal de G .

voila

Bonsoir,
pour (1)
il suffit d'appliquer la formule des classes. H agit sur l'ensemble G/H, on a donc, en notant E un ensemble de représentant unique de chaque classe de G/H et F le sous ensemble de E qui contient les "points" fixes sous l'action de H :
, où désigne le cardinal de l'orbite de gH sous H.
De plus chaque orbite de contient au moins p éléments puisque est un diviseur de |H|.
Or puisque F contient au moins la classe H.
Donc |F|=p et

(2) découle très facilement de (1)

[wonderfuldream]

oui mais dans ce cas on a pas prouver que c'était des singletons ? non puisqu'on a le cardinal etant p ?

[cuati]

oui mais dans ce cas on a pas prouver que c'était des singletons ? non puisqu'on a le cardinal etant p ?

On a prouvé que |F|=p, |F| c'est le nombre de points (de classe du type gH) fixes sous l'action de H. Or |G/H|=p donc toutes les classes sont des points fixes sous l'action de H, ce qui revient à dire que l'orbite d'une classe de G/H sous l'action de H est réduite à un singleton...

[wonderfuldream]

d'accord . ensuite pour le 2 , je dois montrer la normalité , c'est à dire gHg-1=H c'est ca ?

[cuati]

d'accord . ensuite pour le 2 , je dois montrer la normalité , c'est à dire c'est ca ?

Oui c'est bien cela

[wonderfuldream]

étant donné que toute les orbites sont des singletons je pars de :
hgH=gH c'est ca

[cuati]

étant donné que toute les orbites sont des singletons je pars de :
hgH=gH c'est ca

Oui, tu peux.

[wonderfuldream]

merci de votre aide je vais essayer de finir toute seule et de retrouver ma normalité avec des conjugaisons ! bonne soirée cuati :)

[cuati]

merci de votre aide je vais essayer de finir toute seule et de retrouver ma normalité avec des conjugaisons ! bonne soirée cuati

Bonne soirée à toi aussi.

[wonderfuldream]

rebonjour
alors j'ai tournicoter ca dans tous les sens et je n'arrive jamais à gHg-1 = H
donc je suis partie de hgH = H , ensuite on a g-1hgH=H et vu que je trouvais pas , j'ai demander à ma prof et elle ma dit que seule cette ligne prouvait la normalité et j'ai pas compris pourquoi ? est ce juste ?

[cuati]

rebonjour
alors j'ai tournicoter ca dans tous les sens et je n'arrive jamais à gHg-1 = H
donc je suis partie de hgH = H , ensuite on a g-1hgH=H et vu que je trouvais pas , j'ai demander à ma prof et elle ma dit que seule cette ligne prouvait la normalité et j'ai pas compris pourquoi ? est ce juste ?

Bonsoir,
1) tu as démontré que pour tout h dans H et tout g dans G, hgH=gH.
2) tu veux montrer que pour tout g dans G, , cela revient à montrer que pour tout g dans G et tout h dans H, .
Or de hgH=gH, on déduit directement que . Donc . Ensuite il suffit de conclure, on a montré cela pour tout g (donc pour aussi...)

[wonderfuldream]

ahhh Ok , elle m'a expliquer ça rapidement j'avais rien compris ! merci merci ;)

[cuati]

ahhh Ok , elle m'a expliquer ça rapidement j'avais rien compris ! merci merci

De rien :we: