Exponnentielle

[chocolat-x]

Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exercice? Me donne des pistes, et me dire si j'ai bon :)

Soit f(x) = (e^x - 1) / (e^x + x)

PARTIE A
1) montrer que pour tout x de [0,1], f(x) appartient à [0; 1] (on me donne le graphique)

>> Comme f est croissante sur [0,1], f(x) appartient à [0,1]


2) D la droite d'équation y=x

a) montrer pour tt x de [0;1], f(x)-x = ((1-x)*e^x-x-1) / (e^x-x)

>> aucune idée, faut que je fasse avec y= f'(a)(x-a)+f(a), nan?


b) Etudier la position relative de D et la courbe C sur [0;1]


PARTIE B
Soit le suite Un définie par U0=1/2 et Un+1 = f(Un)

1) Montrer que pour tout entier naturel n :
1/2 <= Un <= Un+1 <= 1

>> Je pense qu'il faut faire une récurrence et utiliser la croissante de f, mais je sais pas comment

2)En déduire que (Un) est convergente et détemriner sa limite

>> Avec théroeme de convergence

[C.Ret]

Bonjour

f(x) = (e^x - 1) / (e^x + x)

PARTIE A
1) montrer que pour tout x de [0,1], f(x) appartient à [0; 1] (on me donne le graphique)
>> Comme f est croissante sur [0,1], f(x) appartient à [0,1]

OUi, f est croissante entre 0 et 1, mais cela ne suffit pas. Il faut de plus vérifier que sur cet intervalle, toutes les valeurs prises par f(x) sont sur l'intervalle d'arrivée [0;1]

On observe que
f(0)= ...
et
f(1)= ...
donc, comme f est croissante entre [0 et 1], f(x) appartient à [ ...;...] qui est bien inclus dans [0;1].


2) D la droite d'équation y=x
a) montrer pour tt x de [0;1], f(x)-x = ((1-x)*e^x-x-1) / (e^x-x)
>> aucune idée, faut que je fasse avec y= f'(a)(x-a)+f(a), nan?

Non, il faut juste exprimer f(x)-x et montrer que c'est bien conforme à l'expression donnée.



b) Etudier la position relative de D et la courbe C sur [0;1]

Alors, aucune idée pour cette question ?
Qu'est-ce qui donne la position relative de la courbe C de f et de la droite D : y=x ?

PARTIE B
Soit la suite U(n) définie par U(0)=1/2 et U(n+1) = f(U(n))
1) Montrer que pour tout entier naturel n :
1/2 > Je pense qu'il faut faire une récurrence et utiliser la croissante de f, mais je sais pas comment

Non, on va montrer par cette relation que (Un) est croissante.
Mais la propriété qui va servir à propos de f c'est surtout celle énoncée dans la partie 1.

Effectivement, raisonner par récurrence est une bonne idée.
Comme pour toute récurrence, on commence par vérifier que c'est vrai au premier rand (de u(0) à u(1)).
Puis on suppose que c'est vrai au rang quelconque n et on vérifie que c'est vrai ausi pour (n+1).

Au premier rang, on nous donne u(0)=1/2, on calcule u(1)=...
Et on vérifie que l'on a 1/2 > Avec théroeme de convergence[/COLOR]

Oui effectivement, que dit ce théorème ?

[chocolat-x]

Merci pour votre aide, je pense avoir réussi la partie A

Pour la partie B, on a U0=1/2 et U1 = f(U0) = (e^1/2 -1) / (e^1/2 + x)
= (racine(e)- 1) / (racine(e)-x)
= (e- racine(e)) / (e- x*racine(e))
On peut simplifier?

[C.Ret]

Merci pour votre aide, je pense avoir réussi la partie A

Code: Tout sélectionner

Pour la partie B, on a U0=1/2 et U1 = f(U0) = (e^1/2 -1) / (e^1/2 + x)
                                                                = (racine(e)- 1) / (racine(e)-x)
                                                                = (e- racine(e)) / (e- x*racine(e))


On peut simplifier?

Attention, le x doit disparaitre car il est remplacé par u0.

Donc on a :

Code: Tout sélectionner

u0= 1/2.                                        OK
u1=f(u0)                                        OK
u1=(e^1/2 -1)/(e^1/2 + 1/2 )        Le x disparait (x=1/2)
u1=...


[chocolat-x]

Et pour la position relative, on étudie f(x)-x.
Il faut faire un tableau sur [0;1]
x 0 1
1-x - 0
g(x) 0 +
e^x-x 0 - : signe de -x

f(x)-x 0 + 0


C'est ça ?

[chocolat-x]

Ah oui j'avais oublier de modifier x

U1 = (e^1/2 - 1) / (e^1/2 - 1/2)
= (rac(e)-1) / (rac(e) - 1/2)