[TERMINÉ] Isomorphisme entre groupes et pgcd

[lp.vitor]

Quelqu'un ici a une idée de comment montrer que
s'il existe un isomorphisme de dans ,
alors,

?

* m et n sont nombres entiers plus grand que 0
* c'est le produit cartésien.



Merci beacoup!

[leon1789]

Pour commencer, connais-tu un morphisme allant de Z/mnZ dans le produit cartésien ?

[L.A.]

Bonjour.

Je propose une autre piste : vérifie d'abord que tout élément de Z/mZ x Z/nZ est d'ordre au plus ppcm(n,m). Quel est l'ordre de (1,1) ? A quelle condition ce groupe est-il cyclique ?

(en fait je pense que leon1789 prend le problème dans le mauvais sens)

[leon1789]

(en fait je pense que leon1789 prend le problème dans le mauvais sens)

ben, je pense que non (of course :lol3: )
il existe toujours un morphisme canonique de Z/nmZ dans
et celui-ci est injectif (donc bijectif, because ensembles finis) si et seulement si , c'est-à-dire ...


Je ne vois aucune difficulté dans cela (pas d'ordre, pas de "cyclique") et c'est en lien avec le topic que lp.vitor a ouvert lui-même hier :
http://www.maths-forum.com/termine-l-intersection-mz-nz-egal-mnz-pgcd-m-n-1-134707.php

[lp.vitor]

leon1789,
si pgdc (m, n) = 1, alors, je peux construire un isomorphisme entre eux. (En fait, j'ai fait ça pour montrer l'implication dans l'autre sens).

Mais, maintenant, si je suppose que il y a un isomorphisme, je ne sais pas montrer que pgcd (m, n) = 1.

Bon, je vais voir les pistes que vous et L.A. avez dit.

Merci.

[leon1789]

Un isomorphisme de quoi ?

Si c'est un isomorphisme d'anneaux, alors il n'y en a qu'un... c'est celui qui envoie canoniquement dans . Autant l'utiliser ! ...et la preuve se fait en deux lignes (en utilisant la discussion d'hier : http://www.maths-forum.com/termine-l-intersection-mz-nz-egal-mnz-pgcd-m-n-1-134707.php)


Si c'est un isomorphisme de groupes, c'est différent en effet.

[lp.vitor]

Pardon, je n'avais pas dit.
Je travaille juste avec les groupes.

[lp.vitor]

Mais bon, maintenant, je crois que j'ai réussi.

Si je prendre un isomorphisme de dans ,
et d = pgcd (m, n),
alors, c'est un générateur de , correct?

Alors, l'ordre de (car, ça c'est l'ordre de ).

Mais, comment L.A. a dit, , alors, o(.
Donc, , donc, d = 1.


Et c'est fini.

Vous êtes d'accord?

Merci autre fois.

[leon1789]

Pardon, je n'avais pas dit.
Je travaille juste avec les groupes.

arf, c'était dans le titre. J'avais pas vu ...
Donc il s'agit de groupes additifs.

[leon1789]

Mais, comment L.A. a dit, , alors, o(.

attention, tu mélanges l'ordre additif d'un élément, avec l'ordre multiplicatif d'un élément.
C'est

[lp.vitor]

Oui, c'est vrai, je me suis trompé.
Bien sûr, c'est le zéro là.
(je vais éditer)

[abdelkadersupernova]

Le groupe( ZI);)nZI×ZI;)mZI est commutatif et pour pgcd( m, n) =1
est cyclique

Si n et m ne sont pas premiers entre eux les groupes additifs ZI;)mnZI et

( ZI);)nZI×ZI;)mZI ne peuvent être isomorphes puisque ¯1¯ (bar)est d'ordre m.n dans ZI;)mnZI

et tous les éléments de ( ZI);)nZI×ZI;)mZI ont un ordre qui divise le ppcm (m,n) qui est strictement inférieur à m.n.