Couples de nombres

[albinos]

Bonsoir,

Soient 2 entiers naturels a et b tels que a inférieur ou égal à b.
Quels sont les couples ( a ; b ) tels que la somme ( a + b ) additionnée à la différence ( b - a ), au quotient ( b / a ) et au produit ( ab ) vaille 46656 ?

BONNE RESOLUTION !

[raptor77]

Un bonsoir et un merci seraient le bienvenu

[albinos]

C'est vrai je reconnais ! Correction apportée ! :happy2:

C'était évidemment involontaire, j'aurais du prévisualiser à l'avance comme je l'ai fait pour mes autres énigmes ( où j'espère ne pas avoir fait la même bourde ).

[Bouchra]

Bonsoir albinos,

On a :

a+b+b-a+b/a+ab = 46656
2b+b/a+ab = 46656

m=b/a est donc un entier, m > 1

2ma+m+a^2m = 46656
m(1+a)^2 = 46656

Or :46656 = 2^6 *3^6
= 2^6 * (3^3)^2
=3^6 * (2^3)^2
=2^4 * (2*3^3)^2
=3^4 * (3*2^3)^2
=2^2 * (2^2*3^3)^2
=3^2*(3^2*2^3)^2
=6^2 *(6^2)^2
= 6^4 * 6^2

d'où : (sauf erreur)
m = 2^6, a = 3^3 - 1
m = 3^6, a = 2^3 -1
m = 2^4, a = 2*3^3 - 1
m =3^4, a =3*2^3 - 1
m =2^2 , a = 2^2*3^3 -1
m =3^2, a = 3^2*2^3 -1
m =6^2, a = 6^2 - 1
m = 6^4, a = 6 -1

b=ma

j'espère que j'ai oublié personne .


edit : bon y en a d'autres que j'ai oublié ...

[albinos]

Bonsoir Bouchra !
Je confirme effectivement qu'il en manque encore ! :we:

J'ai l'impression que tu t'es demandé quelles valeurs étaient possibles pour le nombre que tu appelles m (=b/a).

Même s'il n'y a évidemment pas de méthode unique, il me semble qu'il vaut mieux s'interroger sur les valeurs que peut prendre (a+1)^2, et ensuite en déduire m, plutôt que l'ordre inverse.

J'attends ta prochaine réponse...

PS : Je précise que a peut éventuellement être égal à b, contrairement à ce qu'indiquait mon énoncé au départ, et que je viens de corriger...

[puppy-dog]

bonjour,
je me demande comment vous avez fait pour trouver ces reponses.
est-ce que vous pourriez me l'expliquer svp?
gros merci d'avance

[Bouchra]

Salut,
albinos, contrairement à l'orde de m et a dans mon post précédent, je cherchais en fait les valeurs que peut prendre (a+1)^2, plus logique :happy2:

Alors voilà toutes les solutions possibles :

46656 = (2*2*2*3*3*3)^2 = m(a+1)^2 avec m>=1 et a non nul.

(a+1)^2 peut donc prendre les valeurs suivantes :
2^2
3^2
(2^2)^2
(3^2)^2
(2*3)^2
(2^3)^2
(3^3)^2
(2^2*3)^2
(3^2*2)^2
(2^3*3)^2
(2*3^3)^2
(2^2*3^2)^2
(2^3*3^2)^2
(3^3*2^2)^2
(2^3*3^3)^2

et m = 46656 /(a+1)^2

on en déduit les couples (a,b) . 15 couples possibles.

[Flodelarab]

FAUX

Si tu dis que 2²=(a+1)² alors a = 1
donc m=6^6 donc b=m=6^6

et il me semble que 46656>1 ... donc a n'est pas inférieur à b :-(

faut encore écrémer.

de plus, il y a (2^3*3)^2 compté 2 fois...
je pense que tu voulais dire:
(2^3*3^2)^2
(2^2*3^3)^2

[albinos]

Flodelarab :
Si (a+1)^2 égal à 2^2, alors b/a = 6^6/2^2 et non pas 6^6 et on trouve :
a =1 et b = 11664, pas de problème avec les conditions requises.

Bouchra :
Pourrais-tu détailler les solutions afin qu'il n'y ait pas d'ambiguïté... :we:

[Bouchra]

Si tu dis que 2²=(a+1)² alors a = 1
donc m=6^6 donc b=m=6^6

et il me semble que 46656>1 ... donc a n'est pas inférieur à b

comme l'a dit albinos, m=46656/(1+a)^2 .
Et même si ce que tu dis était vrai, je vois pas le problème : 1<46656 donc a<b.

je pense que tu voulais dire:
(2^3*3^2)^2
(2^2*3^3)^2

Oui en effet, je corrige.



Voici les couples (a,b) solutions :
(1,11664)
(2,10368)
(5,6480)
(3,8748)
(8,4608)
(7,5103)
(26,1664)
(11,3564)
(17,2448)
(53,848)
(23,1863)
(35,1260)
(71,639)
(107,428)
(215,215)

[albinos]

Parfait !!

J'ajoute juste une toute petite chose pour être totalement rigoureux.

On doit avoir (b/a)(a+1)^2 = 46656 = 2^6 X 3^6.
(a+1)^2 étant un carré, il doit être égal à un produit de 2X3 chacun élevé à une puissance paire ( 0, 2, 4 ou 6 ) de façon à ce que sa racine carrée (a+1) soit entière.

On a donc les 16 cas suivants :

1) (a+1)^2 = 2^0 X 3^0
2) (a+1)^2 = 2^0 X 3^2
3) (a+1)^2 = 2^0 X 3^4
4) (a+1)^2 = 2^0 X 3^6
5) (a+1)^2 = 2^2 X 3^0
6) (a+1)^2 = 2^2 X 3^2
7) (a+1)^2 = 2^2 X 3^4
8) (a+1)^2 = 2^2 X 3^6
9) (a+1)^2 = 2^4 X 3^0
10) (a+1)^2 = 2^4 X 3^2
11) (a+1)^2 = 2^4 X 3^4
12) (a+1)^2 = 2^4 X 3^6
13) (a+1)^2 = 2^6 X 3^0
14) (a+1)^2 = 2^6 X 3^2
15) (a+1)^2 = 2^6 X 3^4
16) (a+1)^2 = 2^6 X 3^6

Pour les cas 2 à 16, on trouve les 15 solutions trouvées par Bouchra.

Mais il ne fallait pas oublier le cas n°1 où (a+1)^2 = 2^0 X 3^0 = 1 X 1 = 1
( et oui, 1 est un carré aussi ! :happy2: )

Cependant, comme dans ce cas l'on obtenait a = 0, b/a n'était plus défini et on n'avait donc pas de solution pour ce cas n°1.

Donc Bouchra a bien tout trouvé ! :we:
Mais je voulais juste être vraiment complet.

[Bouchra]

Oui, c'est ce que j'ai fait : 46656 = (2*2*2*3*3*3)^2 = m(1+a)^2.
sauf que je me suis dit que pour trouver toutes les valeurs possibles de 1+a, il suffit de choisir les puissances de 2 et 3 qui sont dans {0,1,2,3} sachant que a est non nul. Ca revient au même :happy2:
Et tu as bien fait de le signaler, j'ai la mauvaise habitude de ne pas tout détailler .


Voici une petite question :
Soit t un entier naturel >=2 fixé .
Combien existe-t-il de couples différents (a,b) d'entiers naturels tels que a=< b vérifiant la propriété : "la somme ( a + b ) additionnée à la différence ( b - a ), au quotient ( b / a ) et au produit ( ab ) vaut t " ?
:we:

[albinos]

a et b entiers naturels, ou appartenant à R* ?

[Flodelarab]

c écrit. Relis

De plus, a ne peut pas etre nul et b nul n'est évidemment pas une soluce

[albinos]

C'est précisé pour t mais pas pour a et b, d'où ma question

[Bouchra]

Ah oui, a et b entiers naturels, et t est fixé. C'est corrigé.

[albinos]

A priori je répondrais une infinité, mais j'étudie encore car ca me semble trop simple

[albinos]

J'affinerais juste ma réponse en disant que tout dépend des valeurs de t
Par exemple si t est un nombre premier, alors ( a+1 )^2 = 1 donc a = 0 donc pas de couple solution

[Bouchra]

Oui le nombre de couples dépend de t fixé.
Par ex si t=46656, le nombre de couples (a,b) est 15 :lol3: .

[Flodelarab]

on sait deja qu'il n'y en aura jamais plus de 15.
46656 etant le cas maximum

nombres de couples entre 0 et 15 ....