Problème enquiquinant dans une lecture de maths

[JBB]

Bonjour,
je suis en train de lire un livre de géométrie ("Géométrie du plan" d'après Georges Lion). Le premier chapitre "Postulats de Géométrie pré-euclidienne" commence ainsi:

"Le plan est un ensemble noté P dont les éléments sont appelés points.
Parmi les parties non vides de P on distingue les droites, qui par hypothèse, vérifient la propriété suivante:

Postulat d'appartenance

Par deux points distincts A et B, il passe une droite et une seule notée (AB)"

Je sais que c'est stupide mais je ne comprends pas, il n' y a pas de définition du mot "droite", on sait seulement que les "droites" sont les parties du plan qui vérifient le postulat d'appartenance....mais le postulat d'appartenance ne peut se comprendre sans savoir ce qu'est une droite. Quand je lis le postulat d'appartenance ce que je lis c'est:

"Étant donnés deux points du plan, il n' y a qu'un ensemble de type "droite" (sans que je sache ce que "type" droite veut dire), qui les contient tous les deux".

J'ai cherché sur Wikipédia la définition de droite (une définition non analytique) et ce que j'ai trouvé c'est:

Dans ses éléments, Euclide définit les objets relevant de la géométrie (point, droite, plan, angle) et leur affecte un certain nombre de propriétés (postulats). À l'aide de ces éléments de base, il essaie de construire, par des démonstrations rigoureuses, l'ensemble des autres propriétés.

Pour Euclide :

une ligne est une longueur sans largeur;
et une ligne droite est une ligne également placée entre ses points.
Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points distincts passe une droite) et d'un autre appelé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites ( Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données.

J'aimerais savoir si j'ai bien compris ce que Euclide dit:

Postulat 1: Les segments existent
Postulat 2: Tout segment peut se prolonger en une droite et une seule.

Mais comme on n'a pas de définition pour "segment" et pour "prolonger" je continue à ne pas comprendre. En fait ce qu'il me manque c'est une définition géométrique pour exprimer la notion d'alignement sans utiliser le mot droite.
Il y a trois possiblités:

1) On convient que la notion de droite est suffisament intuitive pour qu'il ne soit pas besoin d'en donner une définition, c'est à dire on admet qu'on ne saît pas définir "droite" (un peu comme on admet qu'on ne saît pas trop définir ensemble).

2) Je ne connais pas la véritable définition géométrique du mot "droite"

3) Les premières lignes de ce post définissent correctement ce qu'est une droite, mais moi je ne le comprends pas.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

[JBB]

Bon j'ai modifé mon dernier message qui n'était pas assez clair :++:

[Nightmare]

Bonjour

En fait il faut se dire que le plan c'est avant tout un ensemble qu'on munit naturellement d'une structure d'espace affine.
Une droite comme c'est énoncé dans ton bouquin est un sous-ensemble, plus précisément c'est un sous-espace affine de P (On appelle cela un hyperplan).

A présent il faut savoir qu'en language affine, un vecteur est une différence de point, ou le mot "point" désigne un élément de notre ea :


La droite affine passant par deux points A et B (puisqu'elle est unique selon euclide) est l'ensemble des points M de P tels que les vecteurs et sont colinéaires (le vecteur étant appelé vecteur directeur.)

C'est à dire :
La droite affine passant par A et B est l'ensemble

:happy3:

[Chimomo]

Attention une droite affine n'est pas un hyperplan. Un hyperplan esst le supplémentaire d'une droite.

[quinto]

Attention une droite affine n'est pas un hyperplan. Un hyperplan esst le supplémentaire d'une droite.

En dimension 2 c'est la même chose non?
Et en dimension quelconque, c'est un ensemble de codimension 1, et non le supplémentaire, alors je ne comprend pas ce que tu veux dire...

[Chimomo]

La codimension d'un espace est la dimension de n'importe quel de ses supplémantaires, donc on a tous les deux raison sur la définition. Il est vrai qu'une droite est en dimension deux un hyperplan. Mais comme on peut définir les droites dans n'importe quelle dimension et que dans ce cas ce n'est pas un hyperplan j'ai voulu préciser.

Soit on fait de la géométrie dans le plan euclidien et on parle de droite sans parler d'espaces affines (ce qui est ce que demandait notre ami car Euclide ne connaissait pas les espaces affines). Soit on fait de l'agèbre et dans ce cas il faut préciser qu'un hyperplan et une droite ne sont égaux qu'en dimension deux.

[JBB]

Donc sans parler d'espace affine une droite c'est bien un "à priori" qu'il ne faut pas chercher à définir non ?

Si non merci pour les réponses ^^

[Chimomo]

Si tu fait de la géométrie sans toucher à l'algèbre (ce qui est encore une fois le cas d'Euclide), tu peux tout de même définir une droite. Cependant il semblerait qu'Euclide ne procède pas comme ça. Mais si tu as défini la notion de barycentre (qui se définit grâce au vecteurs), alors la droite passant par A et B et l'ensemble des barycentres de A et B. Tu peux également définir la droite passant par A et porté par le vecteur u par l'ensemble des points de la forma A + k.u . Et la droite passant par A et B sera la droite passant par A porté par le vecteur AB.

Tu peux bien sur montrer que ces définitions concordent.

[JBB]

Merci beaucoup ^^

[El_Gato]

J'ai l'impression qu'il y a un peu de confusions dans les réponses, cela étant dit sans offense.

La question soulevée par JBB est très intéressante. Je répondrais de la façon suivante:

Il y a essentiellement deux manières de faire de la géométrie élémentaire:
1- Procéder de façon axiomatique. C'est à dire que les notions de "plan", d'"espace", de "droite" etc. sont considérées comme des notions premières, non définies, et que l'on donne une suite d'axiomes décrivant les propriétés que vérifient ces objets. Cette façon de faire de la géométrie était celle des anciens, et en particulier les Grecs. Il y a actuellement un renouveau pour cette géométrie, car elle pose des problèmes de nature logique et géométrique très intéressants (quels sont les axiomes minimaux ? Les axiomes sont ils indépendants ? etc.). De plus, cette géométrie est très constructive.

2- La façon "bourbachique": on définit la notion d'espace affine et on ressort alors de l'algèbre linéaire. Il n 'y a plus besoin d'axiome ici, juste la définition d'un espace vectoriel et d'un espace affine. Cela permet de définir les droites, les plans etc. et de démontrer les propriétés qui étaient énoncées sous forme d'axiomes dans 1. Cette présentation par espace affine est en fait équivalente à l'introduction de la géométrie analytique: dès qu'on a des bases affines, on a des coordonnées etc.

[cesar]

il y a un point qu'il me semble interessant d'aborder : la forme de l'espace dans lequel est la "droite". Dans l'espace euclidien, un segment de droite est le plus court chemin d'un point à un autre et cela donne par prolongement la droite que nous connaissons. Mais dans un espace courbe, une sphere par exemple : le plus court chemin, c'est un arc de cercle... dans un tel espace, les "droites" sont des cercles....

[JBB]

Merci beaucoup El Gato pour ces distinctions, encore une question:
Pourrait-il y avoir des théorèmes du plan ou de l'espace démontrables en géométrie axiomatique mais pas en géométrie affine (et inversement) ?