Polynome à coefficients complexes

[Flash31]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire mais je n'arrive pas à trouver la méthode pour le résoudre.
voici l'énoncé : Déterminer tous les polynomes normalisés du troisième degré et à coefficients complexes vérifiant la relation : P(X)P(-X) + P(X²)=0

Avec P(X)= X^3 + aX² +bX + c j'obtiens :
(a²+a-2b) X^4 + (2ac - b² + b) X^2 + c² + ac + c =0
mais je ne sais pas comment trouver les racines

merci

[leon1789]

on ne demande pas à trouver les racines de P(X)P(-X) + P(X²),
mais à ce que les coefficients de P(X)P(-X) + P(X²) soient nuls

[Flash31]

Ainsi il faut que je trouve
a²+a-2b =0
2ac-b²+b =0
et c² + bc +c = 0 ??

[Sa Majesté]

Sauf erreur la dernière c'est c²+c=0

[leon1789]

effectivement, il faut résoudre , , (en commençant par cette dernière équation...)

[Nightmare]

Hello,

Si l'on veut se passer du côté calculatoire, on peut regarder du côté des racines de P.

Si x est racine, P(x²)=P(x)P(-x)=0 donc x² est racine puis par récurrence x^(2n) est racine de P. Comme P est de degré 3, x^8=x soit x=0 ou x est une racine 7-ème de l'unité.

On vérifie que P=X^3 marche.

Sinon en notant s une racine 7-ème de l'unité et P=(X-s)(X-s²)(X-s^4)

Alors P(X)P(-X)=(X-s)(X-s²)(X-s^4)(-X-s)(-X-s²)(-X-s^4)=-(X-s)(X+s)(X-s²)(X+s²)(X-s^4)(X+s^4)

donc P(X)P(-X)=-(X²-s²)(X²-s^4)(X²-s^8) et on a bien s^8=s donc P(X)P(-X)=-P(X²)

Au final les solutions sont les polynômes P=(X-s)(X-s²)(X-s^4) où s est nul ou une racine 7-ème de l'unité.