Tangentes à L'ellipse

[romain.autret]

Bonjour,

Je veux déterminer l'équation des tangentes à une ellipse passant par le point de coordonnées (0,2)

L'ellipse a pour équation :







Avec a=3 et b=2.

Quelquun aurait une piste ?

[Pythales]

Bonjour,

Je veux déterminer l'équation des tangentes à une ellipse passant par le point de coordonnées (0,2)

L'ellipse a pour équation :







Avec a=3 et b=2.

Quelquun aurait une piste ?

1ere méthode : paramétrer l'ellipse par ,
2eme méthode : écrire l'équation d'une droite passant par et exprimer que son intersection avec l'ellipse a une racine double

[romain.autret]

L'utilisation du paramètrage renvoit a létude de l'arc paramétré ? Je ne vois pas les démarche a suivre et quelle méthode est la plus adaptée.

[Anonyme]

@romain.autret

Fais une dessin et tu vas vite voir que la droite d'équation est une des 2 solutions à trouver.....

Il te reste plus qu'à trouver l'autre

Pistes de travail :

Si l'autre droite a pour équation alors il faut trouver et

1) tu sais que le point appartient à cette droite

2) tu sais que cette droite est une tangente à l'ellipse : l'intersection de cette droite et de l'ellipse est donc 1 seul point

[romain.autret]

Jai oublié de préciser que l'ellipse a pour centre (0,-2)

[Anonyme]

Jai oublié de préciser que l'ellipse a pour centre (0,-2)

OUI et alors le point de coordonnées (0,2) est bien à l'extérieur de l'ellipse ?

ET donc il y a bien 2 "tangentes" à cette ellipse qui passent par ?

ps)
As tu fait un dessin de l'ellipse et du point ?
si non : je te conseille de le faire....

[romain.autret]

Cela revient a résoudre un systeme ?

[Anonyme]

Cela revient a résoudre un systeme ?

OUI

L'objectif est de trouver la valeur de vu que tu as la relation

ps)
Tu va "tomber" sur une équation en X ou en Y (ou en x ou en y selon le repère dans lequel tu travailles) du second degré
(avec des coefficients qui dépendent de )

ET comme tu sais que tu recherches qu'une seule solution ,
il faut que tu écrives que le déterminant de cette équation du 2ème degré est nul ()

Ce qui va te donner une équation en à résoudre.....
( pour information : je n'a pas fait les calculs )

[Black Jack]

Bonjour,

Je veux déterminer l'équation des tangentes à une ellipse passant par le point de coordonnées (0,2)

L'ellipse a pour équation :







Avec a=3 et b=2.

Quelquun aurait une piste ?

Avec quel repère ? X et Y ou bien x et y ?

:zen:

[chan79]

Avec quel repère ? X et Y ou bien x et y ?

:zen:

salut
sans doute (x,y) sinon le point serait à l'intérieur de l'ellipse

[Black Jack]

salut
sans doute (x,y) sinon le point serait à l'intérieur de l'ellipse

Salut,

Je le suppose aussi.

Bien que si c'est (X;Y), la réponse est "Pas de tangentes possibles" ... et l'exercice conserve son sens, c'est juste un mini piège.
*****
Si c'est bien dans le repère(x ; y), alors :

x²/4 + (y+2)²/9 = 1
...
y = -2 +/- (1/2).V(36-9x²)

f(x) = ...

f(a) = ...

f'(a) = ...

Et sauf erreur, on aboutit aux équations possibles des tangentes :

Ta : y = -/+.(x-a).(9/2).a/V(36-9a²) - 2 +/- (1/2).V(36-9a²)

passent par le point (0 ; 2) --->

... conduit à une équation en a.

(9a²/2)/V(36-9a²) + (1/2).V(36-9a²) = +/- 4

qui résolue donne

a = +/- 1,3228...

Et en remplaçant a par - 1,3228... dans l'expression de Ta on a l'équation d'une des tangentes.
Et en remplaçant a par + 1,3228... dans l'expression de Ta on a l'équation d'e l'autre tangentes.

Dans le repère (x;y)

Je n'ai rien vérifié du tout...

:zen:

[Anonyme]

@Black Jack

Je suis OK avec cette deuxième méthode (que je trouve moins "élégante"),
ce qui est normal : car je préfère forcément MA méthode car c'est la MIENNE !

[Black Jack]

@Black Jack

Je suis OK avec cette deuxième méthode (que je trouve moins "élégante"),
ce qui est normal : car je préfère forcément MA méthode car c'est la MIENNE !

Oui, sauf que je me permets de douter du départ de ta discussion basée sur "Fais une dessin et tu vas vite voir que la droite d'équation x = 2 est une des 2 solutions à trouver....."

Si on part ainsi, c'est raté au départ. Car quel que soit le repère (X;Y) ou (x;y), il me semble bien que la droite d'équation X = 2 ou x = 2 ne passe pas par le point (0 ; 2)

Non ?

:zen:

[Anonyme]

@Black Jack

Si tu le dis je te crois car je n'ai fait aucun calcul
et j'ai raisonné par rapport à un dessin que j'ai fait à la main levé

Donc tu as certainement raison

Cependant ( je pense ) qu'on peut appliquer ces 2 méthodes
( mais ma méthode devient d'un seul coup beaucoup moins élégante qu'avant...)

A l'auteur de cette discussion d'appliquer ces 2 méthodes s'il le souhaite

A+

[Black Jack]

@Black Jack

Si tu le dis je te crois car je n'ai fait aucun calcul
et j'ai raisonné par rapport à un dessin que j'ai fait à la main levé

Donc tu as certainement raison

Cependant ( je pense ) qu'on peut appliquer ces 2 méthodes
( mais ma méthode devient d'un seul coup beaucoup moins élégante qu'avant...)

A l'auteur de cette discussion d'appliquer ces 2 méthodes s'il le souhaite

A+

Bien sûr qu'on peut appliquer l'autre méthode.

x²/4 + (y+2)²/9 = 1
y = mx + 2

x²/4 + (mx+2+2)²/9 = 1
On développe et ...

Et on exprime que le discriminant de l'équation du second degré doit être nul.

Cela impose alors m = +/- = V(7/4)

Les tangentes ont alors pour équation :

y = V(7/4) * x + 2
et
y = -V(7/4) * x + 2

:zen:

[Anonyme]

@Black Jack
Merci pour ton message

ps)
quelle méthode préfères tu ?

[Black Jack]

@Black Jack
Merci pour ton message

ps)
quelle méthode préfères tu ?

Pas vraiment de préférence.

Le seul piège avec la méthode comme dans ma dernière réponse est de partir d'une équation de droite telle que y = mx + b ... car si le malheur veut qu'une des tangentes est // à l'axe des ordonnées, cela va rater ou du moins, il faut que l'élève soit un poil astucieux pour reniffler le piège ... et là ce n'est pas obligatoirement gagné.
On peut évidemment alors éviter le piège en partant de l'équation plus générale de droite : ax + by + c = 0, mais il faut alors manipuler un paramètre supplémentaire.

:zen:

[Anonyme]

merci encore pour ce message
et je conclurai juste par CQFD (pour nos 2 méthodes)