ptitnoir > Ici y n'est pas un intervalle mais un réel, arbitraire.
La convergence simple est une convergence ponctuelle : f(x,y) converge simplement (en x) vers f(y) quand x tend vers +oo lorsque, pour tout y,
=f(y))
.
En quantificateur, cela donne que f(x,y) converge simplement (en x) vers f(y) sur l'ensemble E si :
Quel que soit y dans E, e > 0 arbitrairement fixé, je vais pouvoir trouver un réel A à partir duquel (ie dès que x > A) toutes les images f(x,y) seront à distance au plus e de f(y).
A priori, le choix de A dépend de y. Si ce n'est pas le cas, c'est à dire lorsque l'on a :
Quel que soit e > 0 fixé, on peut trouver un réel A à partir duquel toutes les images f(x,y),
quel que soit y dans E, seront à distance au plus e de f(y)
(
remarque la place du "quel que soit y"")
Alors à ce moment là, on dit que la convergence est uniforme en y sur E.
exemple :
On prend
=\frac{y}{x})
qu'on examine sur ]0;1[²
Quel que soit y dans ]0;1[,
=0)
, donc on a convergence simple vers la fonction nulle.
Soit e > 0, je cherche A tel que dès que x > A, f(x,y) y/x x > y/e.
On peut alors prendre A=y/e. En effet, dès que x > y/e alors f(x,y) A => x > 1/ e => 1/x y/x < ye < e car y < 1.
Ainsi, on peut prendre A=1/e qui cette fois ne dépend plus de y. La convergence est donc uniforme en y sur ]0;1[.
Si l'on s'était placé sur ]0;+oo[, on aurait pas pu libérer A de y, la convergence n'est pas uniforme sur ]0;+oo[. Par contre, on aurait pu remplacer ]0;1[ par n'importe quel intervalle [a;b] inclus dans ]0;+oo[. A ce moment là, on dit que la convergence est
localement uniforme sur ]0;+oo[ (localement = sur chaque segment)
.