Dénombrement

[Adoration_For_None]

Bonsoir,

Je sollicite votre aide car je bloque depuis un petit moment sur cet exercice :

On pose le nombre de 3-cycles (a,b,c) définis sur [[1,n]].

La question posée est la suivante :

Pour , donner le nombre de 3-cycles f définis sur [[1,n+1]] tels que .
En déduire que : puis que .

Mon raisonnement :

Si alors et il faut donc que je choisisse 2 autres parmi les n éléments restants dans [[1,n+1]]. J'ai choix.
Et je ne vois plus comment avancer... Un indice ?

Merci d'avance !

[cuati]

... et il faut donc que je choisisse 2 autres parmi les n éléments restants dans [[1,n+1]]. J'ai choix...

Dans un sens et dans l'autre aussi... :lol3:

[Adoration_For_None]

Quand tu dis "dans un sens et dans l'autre" c'est pour justifier le , non ?
Mais, je ne vois pas ce que tu sous entends par "sens" ? :/

[cuati]

Quand tu dis "dans un sens et dans l'autre" c'est pour justifier le , non ?
Mais, je ne vois pas ce que tu sous entends par "sens" ? :/

En fait tu sais que ton 3-cycle envoie (n+1) ailleurs, donc ce 3-cycle est de la forme (n+1,a,b). C'est pour cela que tu choisis deux autres éléments (a et b) parmi les n restants, mais cela n'est pas suffisant pour les compter tous, en effet le 3-cycle (n+1,a,b) n'est pas le même que le 3-cycles (n+1,b,a) (son inverse), autrement dit, l'ordre à une importance dans le choix des 2 autres éléments.
A chaque fois que tu choisis deux éléments a et b il y a deux possibilités de 3-cycles, les deux sus-mentionnés, d'où le 2 devant dans ...

[Adoration_For_None]

Merci beaucoup, je n'avais pas pris en compte cette question d'ordre !
Mais, rien n'oblige mon 3-cycle d'être de la forme (n+1,a,b) ? Donc pourquoi je ne dénombre pas les trois cycles de la forme (a,n+1,b) ou (a,b,n+1), ... ?
Il doit y avoir autre chose qui m'échappe. Désolé. :/

[cuati]

Merci beaucoup, je n'avais pas pris en compte cette question d'ordre !
Mais, rien n'oblige mon 3-cycle d'être de la forme (n+1,a,b) ? Donc pourquoi je ne dénombre pas les trois cycles de la forme (a,n+1,b) ou (a,b,n+1), ... ?
Il doit y avoir autre chose qui m'échappe. Désolé. :/

Attention : (n+1,a,b)=(a,b,n+1)=(b,n+1,a). Il n'y a en fait que 2 sens possibles avec 3 éléments.

[Adoration_For_None]

N'ayant pas encore vu les cycles en cours, je ne comprends pas bien pourquoi on a ces résultats...
Dans mon exercice ils sont simplement définis par :

un 3-cycle (abc) est l'application de E dans E définie par
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a et pour f(x)=x.

[cuati]

N'ayant pas encore vu les cycles en cours, je ne comprends pas bien pourquoi on a ces résultats...
Dans mon exercice ils sont simplement définis par :

un 3-cycle (abc) est l'application de E dans E définie par
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a et pour f(x)=x.

Oui, (abc) est une notation pour dire que "a" est envoyé en "b", "b" en "c" et "c" en "a", les autres étant fixés. Mais du coup, on a bien (abc)=(bca) non ? et même (abc)=(bca)=(cab).

[Adoration_For_None]

Oui, (abc) est une notation pour dire que "a" est envoyé en "b", "b" en "c" et "c" en "a", les autres étant fixés. Mais du coup, on a bien (abc)=(bca) non ? et même (abc)=(bca)=(cab).

D'accord, ce qui justifie que les deux cycles possibles à trois éléments a,b,c sont (abc) et (acb).

Et d'où je dois dénombrer (n+1,a,b) et (n+1,b,a).

Merci beaucoup !

Donc représente le nombre de 3-cycles f définis sur [[1,n+1]] avec n+1 appartenant au support (c'est comme ça qu'on l'appelle ?) du 3-cycle ?

[cuati]

D'accord, ce qui justifie que les deux cycles possibles à trois éléments a,b,c sont (abc) et (acb).

Et d'où je dois dénombrer (n+1,a,b) et (n+1,b,a).

Merci beaucoup !

Donc représente le nombre de 3-cycles f définis sur [[1,n+1]] avec n+1 appartenant au support (c'est comme ça qu'on l'appelle ?) du 3-cycle ?

T'as tout compris :++:

[Adoration_For_None]

Merci encore !

Et de là, les 3-cycles définis sur [[1,n+1]] correspondent aux 3-cycles définis sur [[1,n]] et aux 3-cycles définis de [[1,n+1]] avec n+1 appartenant au support. En effet, les 3-cycles définis sur [[1,n+1]] peuvent être séparés en deux catégories, ceux intégrant n+1 à leur support (calculé avant) et ceux ne l'intégrant pas, ces derniers étant aussi nombreux que les trois cycles définis sur [[1,n]], on étend juste ces trois cycles sur [[1,n+1]] avec f(n+1)=n+1.
Alors .

C'est bon ?

[cuati]

Oui, c'est nickel :)