Généralisation Cantor-Bernstein

[Nightmare]

Hello,

suite au dernier message de Judoboy, une question surgit :

Quelles sont les catégories dans lesquelles on peut généraliser Cantor-Bernstein? Peut-on les caractériser?

[Nightmare]

Ca marche pour les ensembles, les espaces vectoriels, les modules, les espaces métriques. (les deux derniers, pas sûr)

Ca ne marche pas pour les groupes, anneaux, corps, espaces topologiques.

[ffpower]

Ca marche pour les ensembles, les espaces vectoriels, les modules, les espaces métriques. (les deux derniers, pas sûr)

Ca ne marche pas pour les groupes, anneaux, corps, espaces topologiques.

espace metriques? ca marche pas avec [0,1] et ]0,1[..

Sinon, je ne connais pas la def de categorie donc j aurais du mal a repondre a ton exo en toute generalite.

[Judoboy]

Ca marche pour toutes les structures algébriques finies (ça me vaudra une ou deux médailles Fields ce résultat).

Pour les modules je pense pas, ce qui fait que ça marche pour les EV c'est qu'on se ramène à des applications ensemblistes entre les bases mais dans les modules non libres je vois pas pourquoi ça marcherait...

[Judoboy]

Euuh d'ailleurs ça me paraît très bizarre que ça marche sur les EV et pas sur les corps vu que les corps ont une structure naturelle d'EV sur leur corps premier.

Edit : ah nan c'est pas surprenant en fait conserver la structure de corps c'est beaucoup plus contraignant que conserver la structure d'EV.

T'as trouvé des contre-exemples pour les groupes et les espaces topologiques ?

En tout cas y a moyen de faire un thread passionnant :D

[ffpower]

T'as trouvé des contre-exemples pour les groupes et les espaces topologiques ?

[0,1] et ]0,1[

Pour les groupes, tu peux prendre les groupes libres a 2 ou 3 generateurs..

En groupe abelien par contre je sais pas..(si c est effectivement vrai pour les modules, alors ca l est pour les groupes abeliens)

[Nightmare]

Métrique marche pas, métrique compact oui si je ne m'abuse!

[Judoboy]

Et pour les espaces vectoriels normés ?

Métrique marche pas, métrique compact oui si je ne m'abuse!

Tu montres ça comment ?

[ffpower]

espace normes, non, par ex avec les suites l1 et les suites l2 (de gauche a droite par injection, de droite a gauche en multipliant terme a terme par la suite 1/n).

C est vrai pour les hilberts par contre (mais comme pour les ev..pas tres interessant)

Pour les metriques compacts c est pas beaucoup mieux que quand ils sont pas compacts: par ex [0,1] et [0,1] union [2,3]

[Judoboy]

espace normes, non, par ex avec les suites l1 et les suites l2 (de gauche a droite par injection, de droite a gauche en multipliant terme a terme par la suite 1/n).

C est vrai pour les hilberts par contre (mais comme pour les ev..pas tres interessant)

Pour les metriques compacts c est pas beaucoup mieux que quand ils sont pas compacts: par ex [0,1] et [0,1] union [1,2]

[0,1] union [2,3] plutôt non, comme ça ça marche pas à cause de la connexité ?

Edit : bien vu l'édit

[ffpower]

[0,1] union [2,3] plutôt non, comme ça ça marche pas à cause de la connexité ?

Edit : bien vu l'édit

Oui bah j y peux rien si t es un peu trop au taquet, j ai edit 10 secondes plus tard :ptdr:

Edit: j avais pas vu ton edit^^

[Nightmare]

C'est quoi vos flèches pour la catégorie des espaces métriques compacts? Moi je prenais les plongements qui préservent la distance.

Et il me semble bien que si X se plonge isométriquement dans Y et vice versa, et si l'un des deux est compact alors X et Y sont isométriques.

Je pense que ce vrai car une application X->X qui conserve la distance est une isométrie si X est compact.

[ffpower]

Ah ok, effectivement, ca marche si on regarde des isometries..

D'ailleurs du coup, la question se pose a nouveau pour les isometries entre evn..(je pense que ca reste faux, mais j ai pas d exemples sous la main)

[Judoboy]

J'imagine que pour les EVN les flèches c'est plutôt les lipéomorphismes que les isométries non ?