0,9999... = 1

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2012, 15:56

Sylviel a écrit:La construction des nombres réels n'est pas abordé avant la licence, et nombre de gens passent à côté durant leur scolarité. Nightmare vient de faire un post où il évoque l'idée centrale : les réels c'est les limites de suites de rationnels.


On peut aussi définir les réels par la coupure de Dedekind, mais effectivement il est surement plus intuitif de définir l'ensemble des nombres réels R comme le complété de Q.



Archytas
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par Archytas » 12 Nov 2012, 19:05

ptitnoir a écrit:J'espère que ce n'est pas les explications données par Nightmare... car il faut introduire la notion de suites adjacentes ( qui est hors programme en classe de Terminale depuis cette année )

Vraiment ? Des belles suites adjacentes remplacées par des statistiques ?! Mais ou va le monde !
Oui ces notions sont étrangères à l'étudiant non curieux (nombres transcendants et fraction continues (les fractions continues c'est bien du genre (il me semble que c'est phi d'ailleurs ^^) ?)) !
D'ailleurs c'est possible de montrer facilement que la probabilité de tomber sur un transcendant en prenant un réel au hasard est de 1 (pour un entier c'est facile de montrer que la proba est 0 mais ça doit être une autre paire de manche pour les irrationnels ^^) ? Je l'avais vu écris sans qu'il y ai la démo !

kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2012, 19:14

@ptitnoir

effectivement en terminale les élèves n'ont pas le bagage pour construire proprement les réels, ni les entiers ou les rationnels d'ailleurs

il faut faire un tout petit peu de théorie des ensembles pour ca

on se contente de les utiliser (mais tout comme la dérivée ou l'intégrale par exemple)

kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2012, 19:17

Archytas a écrit:D'ailleurs c'est possible de montrer facilement que la probabilité de tomber sur un transcendant en prenant un réel au hasard est de 1 (pour un entier c'est facile de montrer que la proba est 0 mais ça doit être une autre paire de manche pour les irrationnels ^^) ? Je l'avais vu écris sans qu'il y ai la démo !


Il est plus facile de montrer que la probabilité de tomber sur un irrationnel est 1 que de montrer que c'est le cas pour les transcendants !

D'ailleurs si tu sais que P(tirer un transcendant = 1), il est alors immédiat que P(tirer un irrationnel = 1) puisque {transcendants} C {irrationnels}

Sylviel
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par Sylviel » 12 Nov 2012, 19:29

Effectivement sauf qu'il faudrait définir prendre un réel au hasard...

Parce que si je prends au hasard pi ou e avec 1 chance sur 2 alors ce que tu dis est faux.

En fait ce que tu veux dire c'est que l'ensemble des nombres non transcendants est de mesure nulle, et ce n'est pas évident (à ma connaissance). En revanche le fait que les rationnels soit de mesure nulle est quasi-évident.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

LeJeu
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par LeJeu » 12 Nov 2012, 19:36

Arnaud-29-31 a écrit:Chuuut silence sur la quadrature du cercle, on risquerait de voir débarquer un membre qui affirme avoir trouvé la dernière décimale de :hein:

Salut tout le monde,
je vous lis avec intérêt ( y compris le beagle qui vient faire quelques Zénonnerie :-) ), bravo à tous pour la pédagogie.


@Archytas : Après la théorie - les TP:

soit la suite définie par:


avec la décimal de

La suite est-elle convergente ?



Ps - côté dernière décimale de on est en plein dedans !, enfin presque :-)

kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2012, 19:48

Sylviel a écrit:En fait ce que tu veux dire c'est que l'ensemble des nombres non transcendants est de mesure nulle, et ce n'est pas évident (à ma connaissance). En revanche le fait que les rationnels soit de mesure nulle est quasi-évident.


L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable !
Une preuve ici par exemple

Sylviel
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par Sylviel » 12 Nov 2012, 19:53

kazeriahm a écrit:L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable !
Une preuve ici par exemple


Ok bien vu, mais évident à montrer que pour les rationnels ^^. Je pensais que c'était plus compliqué que ça, mais en fait non.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

kazeriahm
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par kazeriahm » 12 Nov 2012, 19:56

Bah disons juste que le fait que les algébriques soient dénombrables est moins "célèbre" que son pendant pour les rationnels :we:

Sylviel
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par Sylviel » 12 Nov 2012, 19:57

non mais je savais que c'était dénombrable, juste je n'avais jamais vu de démo. Alors que celle des rationnelles est non seulement simple mais largement rabachée un peu partout, même en vulgarisation !
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Deliantha
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par Deliantha » 12 Nov 2012, 20:30

ptitnoir a écrit:Bonjour
J'ai 2 questions qui ne concernent pas les notations ou utilisées dans les calculs de limite mais qui sont relatives aux nombres tels que et exp(1)

- Est ce qu'au lycée on explique ce qu'est un nombre transcendant ?
et
- Est ce que la notion de fraction continue est enseignée au lycée ? (ou en faculté)

Aujourd'hui non dans le cas général sauf exceptions mais les définitions étaient bien aux programmes de lycées en 80/90 et à travers les exercices pratiqués à foison sur les rationnels vus comme des fractions continues finies et les irrationnels en fractions continues infinies (encore abordées en limites de suites...)

Anonyme

par Anonyme » 13 Nov 2012, 12:50

Archytas a écrit:Mais ou va le monde !
en direction du XXIIe siècle (22éme siècle).... :-)

Anonyme

par Anonyme » 13 Nov 2012, 12:58

LeJeu a écrit:soit la suite définie par:


avec la décimal de

La suite est-elle convergente ?
Question : La décimal de veut il dire que
?
?
...etc... ?

Archytas
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par Archytas » 14 Nov 2012, 00:44

LeJeu a écrit:La suite est-elle convergente ?

J'aurais tendance à dire oui car quand n tend vers l'infini on a (sur le même principe qu'on démontre que ta suite avec remplacée par 1 tend vers phi) bref comme on connait pas a(n+1) on sait qu'elle converge mais on sait pas vers quelle limite. Je suis dans le mur n'est ce pas ?

Anonyme

par Anonyme » 14 Nov 2012, 01:56

@Archytas
Salut
Je n'ai pas encore tout compris mais je progresse...

Voici mes pistes de travail :
1) Tape dans Google : fraction continue racine
2) et/ou lis le fichier pdf : http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/IMG/pdf/Brezinski_fractions_continues.pdf

Archytas
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par Archytas » 14 Nov 2012, 20:53

ptitnoir a écrit:@Archytas
Salut
Je n'ai pas encore tout compris mais je progresse...

Voici mes pistes de travail :
1) Tape dans Google : fraction continue racine
2) et/ou lis le fichier pdf : http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/IMG/pdf/Brezinski_fractions_continues.pdf

D'acc, c'est quoi la réponse à la question (je peux pas lire, les cours ont repris et c'est ma priorité, je l'ai mis en favoris je m'y attaquerais plus tard ^^) ?

Archytas
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par Archytas » 15 Nov 2012, 23:14

LeJeu a écrit:Salut tout le monde,
je vous lis avec intérêt ( y compris le beagle qui vient faire quelques Zénonnerie :-) ), bravo à tous pour la pédagogie.


@Archytas : Après la théorie - les TP:

soit la suite définie par:


avec la décimal de

La suite est-elle convergente ?



Ps - côté dernière décimale de on est en plein dedans !, enfin presque :-)

converge or donc un converge c'est ça ?

kazeriahm
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par kazeriahm » 16 Nov 2012, 01:20

Archytas a écrit: converge or donc un converge c'est ça ?


Pourquoi v_n converge ?

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 16 Nov 2012, 01:37

Hello,

Je viens de feuilleter mon livre et voici un exo du même genre, si tu veux être un peu plus guidé...

A suite de réels positifs, on associe par :

(n+1 radicaux emboités).
1) Etudier lorsque est la suite constante de valeur 1.
2) Etudier lorsque est définie par :
(a>0 donné)
3) Montrer que converge dans chacun des cas suivants :
a) , b) , c)

Archytas
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par Archytas » 16 Nov 2012, 21:15

donc ce qui reviens à résoudre une équation du second degré dont la solution positive est la limite de la convergence. Comme pour

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