Exo de spé sur le PGCD

par **clacla004** » 10 Nov 2012, 18:34

Bonjour, la première question de mon exercice est la suivante : Déterminer l'ensemble des entiers naturels tels que la fraction (3n^3-11n)/(n+3) soit un entier.
J'ai trouvé les valeurs avec un tableur mais je ne vois vraiment quelle méthode je dois utiliser pour les trouver...
Merci d'avance.

par **chan79** » 10 Nov 2012, 22:38

clacla004 a écrit:Bonjour, la première question de mon exercice est la suivante : Déterminer l'ensemble des entiers naturels tels que la fraction (3n^3-11n)/(n+3) soit un entier.
J'ai trouvé les valeurs avec un tableur mais je ne vois vraiment quelle méthode je dois utiliser pour les trouver...
Merci d'avance.

salut
on peut montrer cette égalité
3n³-11n=(n+3)(3n²-9n+16)-48
donc (n+3) divise 3n³-11n si n+3 est un diviseur de 48
les diviseurs de 48 sont {1,2,4,8,16,3,6,12,24,48,-1,-2,-4,-8,-16,-3,-6,-12,-24,-48}
on doit résoudre 20 petites équations
n+3=1 donne n=-2
n+3=2 donne n=-1
etc

par **clacla004** » 11 Nov 2012, 00:46

salut !

Merci beaucoup pour la réponse, le 48 ressort à la question.suivante ! Par contre je ne comprends pas.comment tu as trouvé l'egalité... Sinon merci beaucoup :we:

par **chan79** » 11 Nov 2012, 08:29

clacla004 a écrit:salut !

Merci beaucoup pour la réponse, le 48 ressort à la question.suivante ! Par contre je ne comprends pas.comment tu as trouvé l'egalité... Sinon merci beaucoup :we:

J'ai simplement fait la division
[img][IMG]http://img94.imageshack.us/img94/4749/22235310.png[/img]

Uploaded with ImageShack.us

ou bien tu écris
(n+3)(an²+bn+c)+d=3n³-11n
tu développes et tu identifies les coefficients

par **clacla004** » 11 Nov 2012, 11:57

chan79 a écrit:J'ai simplement fait la division
[img][IMG]http://img94.imageshack.us/img94/4749/22235310.png[/img]

Uploaded with ImageShack.us

ou bien tu écris
(n+3)(an²+bn+c)+d=3n³-11n
tu développes et tu identifies les coefficients

Ok merci, la question d'après est :
1)Montrer que PGCD (3n^3-11n;n+3)=PGCD (48;n+3) => ça j'ai répondu
2) En déduire les valeurs possibles pour le PGCD de 3n^3-11n et de n+3 => je sais que que je dois me servir de PGCD (48; n+3) mais je vois pas comment faire avec l'algorithme d'Euclide...

par **chan79** » 11 Nov 2012, 12:20

clacla004 a écrit:Ok merci, la question d'après est :
1)Montrer que PGCD (3n^3-11n;n+3)=PGCD (48;n+3) => ça j'ai répondu
2) En déduire les valeurs possibles pour le PGCD de 3n^3-11n et de n+3 => je sais que que je dois me servir de PGCD (48; n+3) mais je vois pas comment faire avec l'algorithme d'Euclide...

ce PGCD est donc un diviseur de 48

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