Somme de cardinaux
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Zweig
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par Zweig » 10 Nov 2012, 21:47
Salut,
Soit
un ensemble à
éléments,
. Déterminer, sans récurrence, les sommes suivantes :
Par exemple, si
alors
Soit,
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vincentroumezy
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par vincentroumezy » 10 Nov 2012, 23:31
Salut !
Je propose
1)
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Zweig
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par Zweig » 11 Nov 2012, 02:12
Ouep, et qui vaut ? ;)
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MMu
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par MMu » 11 Nov 2012, 05:20
Zweig a écrit:Salut,
Soit
un ensemble à
éléments,
. Déterminer, sans récurrence, les sommes suivantes :
Par exemple, si
alors
Soit,
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MMu
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par MMu » 11 Nov 2012, 05:21
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Zweig
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par Zweig » 11 Nov 2012, 05:47
Salut,
Nope, c'est
, mais je suppose une faute de frappe, les calculs étant bons.
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fatal_error
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par fatal_error » 11 Nov 2012, 10:06
salut,
pour la 2 :
pour i=1 a n (taille de l'intersection)
on construit E : k elem parmi (n-i) pour k=0 à n-i
pour ce E donné on construit F : j elem parmi (n-k-i) pour j=0 à n-k-i
ce qui donne
Si on pose
et qu'on dérive et évalue en i, on obtient S, donc
la vie est une fête
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vincentroumezy
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par vincentroumezy » 11 Nov 2012, 10:49
Zweig a écrit:Ouep, et qui vaut ?
On dérive:
L'évaluation en x=1 donne
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Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 11 Nov 2012, 11:41
Hello,
On a :
si je me suis pas trompé.
Edit : ouaip ou comment reprendre ce qu'a dit Vincentroumezy ^^
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vincentroumezy
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par vincentroumezy » 11 Nov 2012, 12:03
Oui, mais tu as calculé la somme différemment !
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acoustica
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par acoustica » 11 Nov 2012, 12:57
cardinaux J'en compte dix.
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Doraki
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par Doraki » 11 Nov 2012, 14:56
Pour tout x de E, l'application qui à une partie X de E contenant x associe X' = X \{x} est une bijection dans l'ensemble des parties de E\{x}, donc :
Et de même,
Sinon en termes de probabilités, un élément x a une chance sur 2 d'être dans un ensemble X choisi au hasard uniformément dans P(E), donc l'espérance de la taille d'un ensemble choisi au hasard vaut 1/2 * n, mais ceci n'est rien d'autre que (la première somme)/2^n.
Et on fait pareil pour le 2 en prenant deux ensembles X et Y choisis au hasard uniformément et indépendemment dans P(E)
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Zweig
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par Zweig » 11 Nov 2012, 15:06
Ouep, vous avez tout bon !
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Nightmare
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par Nightmare » 11 Nov 2012, 15:16
Hello,
désigne le complémentaire dans E :
Mais
donc
ie
.
De même, on a la partition suivante :
Mais là encore la somme pour (X,Y) variant dans P(E)² de chaque terme de la partition est égale à la somme des X inter Y.
On a donc
et on trouve
:happy3:
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MMu
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par MMu » 11 Nov 2012, 20:45
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