Somme de cardinaux

[Zweig]

Salut,

Soit un ensemble à éléments, . Déterminer, sans récurrence, les sommes suivantes :

1. 
   
2. 

Par exemple, si alors



Soit,

[vincentroumezy]

Salut !
Je propose
1)

[Zweig]

Ouep, et qui vaut ? ;)

[MMu]

Salut,

Soit un ensemble à éléments, . Déterminer, sans récurrence, les sommes suivantes :

1. 
   
2. 

Par exemple, si alors



Soit,

[MMu]

[Zweig]

Salut,

Nope, c'est , mais je suppose une faute de frappe, les calculs étant bons.

[fatal_error]

salut,

pour la 2 :
pour i=1 a n (taille de l'intersection)
on construit E : k elem parmi (n-i) pour k=0 à n-i
pour ce E donné on construit F : j elem parmi (n-k-i) pour j=0 à n-k-i


ce qui donne

Si on pose et qu'on dérive et évalue en i, on obtient S, donc

[vincentroumezy]

Ouep, et qui vaut ?

On dérive:
L'évaluation en x=1 donne

[Kikoo <3 Bieber]

Hello,

On a :



si je me suis pas trompé.

Edit : ouaip ou comment reprendre ce qu'a dit Vincentroumezy ^^

[vincentroumezy]

Oui, mais tu as calculé la somme différemment !

[acoustica]

cardinaux

J'en compte dix.

[Doraki]

Pour tout x de E, l'application qui à une partie X de E contenant x associe X' = X \{x} est une bijection dans l'ensemble des parties de E\{x}, donc :



Et de même,



Sinon en termes de probabilités, un élément x a une chance sur 2 d'être dans un ensemble X choisi au hasard uniformément dans P(E), donc l'espérance de la taille d'un ensemble choisi au hasard vaut 1/2 * n, mais ceci n'est rien d'autre que (la première somme)/2^n.
Et on fait pareil pour le 2 en prenant deux ensembles X et Y choisis au hasard uniformément et indépendemment dans P(E)

[Zweig]

Ouep, vous avez tout bon !

[Nightmare]

Hello,
désigne le complémentaire dans E :



Mais donc

ie .

De même, on a la partition suivante :



Mais là encore la somme pour (X,Y) variant dans P(E)² de chaque terme de la partition est égale à la somme des X inter Y.

On a donc et on trouve

:happy3:

[MMu]