Etude de la limite d'une Suite Term S

[Grimm_jow]

Bonjour tout le monde.
Voilà, je suis comme tous les auteurs de sujet (ou presque), je bloque sur un exercice. J'ai déjà pas mal avancé mais j'ai du mal à conclure.
On étudie une suite Un=

On constate par calcul que la limite de Un semble être 2. On veut le prouver. Pour cela on étudie la limite de Vn=Un-2 et on tente de prouver que Vn tend vers 0
Donc on calcule Un-2 on trouve Vn=

pour le numérateur est toujours négatif et le dénominateur toujours positif donc
Si la suite converge vers 0 alors pour tout a petit et proche de 0 il existe tel que pour tout ,
Cela se traduit par

On résout la première inéquation
Et on trouve 2 solutions réelles (on sait que le discriminant est positif car a est petit devant 25) et





la seconde inéquation donne


Voilà je ne pense pas m’être trompé (sinon merci de me corriger), mais je n'arrive pas à aller plus loin pour conclure (alors que je pense y être presque). Pourriez vous m'aider svp?

[Grimm_jow]

Salut à tous,
Je me permets un petit up, car j'ai l'impression que mon sujet est tombé dans les profondeurs du classement.

Merci d'avance pour votre/vos réponse(s)

[maths0]

De rien, tu es en tête de liste maintenant :zen:
C'est trivial (Un) tend vers 2.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Dans le cas d'une limite en d'une fraction de fonctions polynomiales, on ne garde que les termes de plus haut degré de chaque polynôme.

C'est à dire

Pour t'en persuader , je te propose de factoriser numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré.

[Grimm_jow]

arf, j'ai oublié de préciser que le prof nous a orienté pour partir dans le sens que j'ai attaqué. Il ne se contentera pas d'un "c'est trivial" et il souhaite qu'on suive son raisonnement. Je suis d'ailleurs surpris de vos réponses. Avez vous eu l'impression que ma question était le fruit simplement d'une curiosité personnelle? Il me semblait pourtant avoir du dire que c'était un exo... Par contre méa culpa j'ai oublié de préciser qu'il était légèrement guidé et de term S (ni niveau en dessous ni au dessus).

[Arnaud-29-31]

Dans ce cas il peut être utilise de nous préciser à quel point il est guidé, et le détail des questions s'il y en a ...

C'est vrai que c'est assez surprenant de faire tout un exo sur une limite aussi simple.

[Grimm_jow]

Dans ce cas il peut être utilise de nous préciser à quel point il est guidé, et le détail des questions s'il y en a ...

C'est vrai que c'est assez surprenant de faire tout un exo sur une limite aussi simple.

Il n'est pas plus guider que ça: utiliser la suite Vn, utiliser la définition de la limite d'une suite convergente (donc tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de Un à partir d'un certain rang). Il nous a prévenu qu'il y aurait des inéquations à résoudre du type Vn compris entre à et 0. Donc voilà vous en savez autant que moi. J'ai utilisé Vn posé mes inéquations, résolu celles-ci (convenablement j'espère) mais je bloque pour conclure à partir de ça. On a pas encore étudié les suites de polynômes. On en est qu'au premier chapitre sur les suites: récurrence et limite d'une suite

[Grimm_jow]

Du coup ça bloque? (j'ai pas voulu précipiter les choses comme c'est demandé, mais c'est pour cet aprem...)

[chan79]

Bonjour tout le monde.
Voilà, je suis comme tous les auteurs de sujet (ou presque), je bloque sur un exercice. J'ai déjà pas mal avancé mais j'ai du mal à conclure.
On étudie une suite Un=

On constate par calcul que la limite de Un semble être 2. On veut le prouver. Pour cela on étudie la limite de Vn=Un-2 et on tente de prouver que Vn tend vers 0
Donc on calcule Un-2 on trouve Vn=

pour le numérateur est toujours négatif et le dénominateur toujours positif donc
Si la suite converge vers 0 alors pour tout a petit et proche de 0 il existe tel que pour tout ,
Cela se traduit par

On résout la première inéquation
Et on trouve 2 solutions réelles (on sait que le discriminant est positif car a est petit devant 25) et





la seconde inéquation donne


Voilà je ne pense pas m’être trompé (sinon merci de me corriger), mais je n'arrive pas à aller plus loin pour conclure (alors que je pense y être presque). Pourriez vous m'aider svp?

salut
d'accord avec tes calculs
seulement, à la fin, il faut préciser:
étant donné le nombre a (négatif), pour que , il faut que n soit un entier plus grand que
A noter que est plus grand que
Par exemple si on veut que ,
il faut que n soit plus grand que 4998,59... donc au poins égal à 4999
on trouve d'ailleurs =1.99900008 ...et on vérifie que l'écart avec 2 est plus petit que 0.001

[Grimm_jow]

Merci. Il paraît évident à la lecture de cette reponse que n3 est bien plus petit que n1. Par contre même si j'avais réussi à classer n1 et n2 je pensais qu'ils étaient négatifs donc pas valables. Comme a est petit la racine vaut quasiment 5 et donc je me trouvais avec -1/2 ou (-10-a)/2a donc 2 nombres négatifs. Ou me suis-je égaré pour rejoindre ton raisonnement que n1 est positif est grand?

[chan79]

Merci. Il paraît évident à la lecture de cette reponse que n3 est bien plus petit que n1. Par contre même si j'avais réussi à classer n1 et n2 je pensais qu'ils étaient négatifs donc pas valables. Comme a est petit la racine vaut quasiment 5 et donc je me trouvais avec -1/2 ou (-10-a)/2a donc 2 nombres négatifs. Ou me suis-je égaré pour rejoindre ton raisonnement que n1 est positif est grand?

Si tu regardes ton expression de en fonction de a, tu vois que si a est très proche de 0, alors est très grand.
D'ailleurs la limite de quand a tend vers 0 (avec a<0) est + infini

[Grimm_jow]

Euh non. Je ne le vois pas. C'est d'ailleurs pour ça que je demande. n1 tends vers l'infini mais pour n2 on a une forme indéterminée 0/0 comment faisons nous?

[chan79]

Euh non. Je ne le vois pas. C'est d'ailleurs pour ça que je demande. n1 tends vers l'infini mais pour n2 on a une forme indéterminée 0/0 comment faisons nous?

est toujours plus grand que
Ce qui compte, c'est que si n est plus grand que , on a l'encadrement voulu