0,9999... = 1

[Archytas]

Tu n'as pas la définition avec les epsilon ?

Jamais entendu parlé !

[Arnaud-29-31]

La définition de la limite c'est pour une limite en :


Et pour une limite en :

[Archytas]

La définition de la limite c'est pour une limite en :

En terminale on avait vu une définition similaire mais sans epsilon :

[Arnaud-29-31]

Tu voulais écrire M à la place de L je suppose.

Je te laisse me dire ce que décrit cette définition.

[vincentroumezy]

Encore une fois, la notation 0,999... désigne l'unique nombre réel dont toutes les décimales valent 9.

Il s'agit donc de cette fameuse somme , qui vaut 1.

Là franchement tout est dit.
Archytas, qu'est ce qui te pose problème là dedans ?

[kazeriahm]

Bah justement moi je n'ai jamais entendu parler de "limite/borne inférieure à un nombre".

Je sais définir la borne inférieure ou supérieure d'un sous ensemble de R.

Par exemple si , quel est la borne supérieure de l'ensemble
?

[Archytas]

Tu voulais écrire M à la place de L je suppose.

Je te laisse me dire ce que décrit cette définition.

Oui c'est ça ! C'est la limite en l'infini, pour x0 on a pas utilisé d'epsilon non plus...

[Archytas]

Bah justement moi je n'ai jamais entendu parler de "limite/borne inférieure à un nombre".

Je sais définir la borne inférieure ou supérieure d'un sous ensemble de R.

Par exemple si , quel est la borne supérieure de l'ensemble
?

justement ici la borne supérieure est 1 mais c'est une limite, mais la suite en elle même n'attendras jamais 1.

[kazeriahm]

justement ici la borne supérieure est 1 mais c'est une limite, mais la suite en elle même n'attendras jamais 1.

C'est vrai, et d'ailleurs tu remarqueras qu'aucun terme de la suite ne vaut le fameux 0,99999....

[Archytas]

C'est vrai, et d'ailleurs tu remarqueras qu'aucun terme de la suite ne vaut le fameux 0,99999....

si lorsque n tend vers l'infini. En d'autre terme tu remplace ton n par . ça reste théorique mais tu as ton 0.9999... ?

[Archytas]

C'est vrai, et d'ailleurs tu remarqueras qu'aucun terme de la suite ne vaut le fameux 0,99999....

Ah non c'est bon j'ai compris ce que tu voulais dire !!!

[Arnaud-29-31]

Oui c'est ça ! C'est la limite en l'infini, pour x0 on a pas utilisé d'epsilon non plus...

C'est la définition pour la limite en d'une part mais aussi pour une limite égale à

[Archytas]

C'est la définition pour la limite en d'une part mais aussi pour une limite égal à

Oui c'est ce que je voulais dire c'est différent pour les limites en l'infini qui sont finies

[Sylviel]

Archytas : ce n'est pas un "problème non résolu", et sans vouloir préjuger de ton niveau mathématiques on est plusieurs ici à avoir déjà un certain bagage (M2, thèse...) en maths, et cette question est relativement simple (disons niveau L1).

Je reprends une fois de plus :
1- n'a pas de défintion

f(1-) est une notation pour dire "limite quand x tends vers 1 par valeur inférieure de f"

0.999= 9/10 + 9/10² + 9/10^3. Donc tu vois bien que par construction 0.99... est bien la limite de cette somme. C'est le principe d'un développement décimale d'un nombre. Tout comme pi = 3/1 + 1/10 +4/10²+...+a_n/10^n+...

0.999... est définie comme la limite d'une suite donc pas la valeur de n'importe quel membre de la suite, mais la valeur dont ces membres s'approche. Un exemple la fonction 1/x tends vers 0 en +oo, pourtant quelque soit x>0, 1/x >0. C'est la même chose ici.

0.999...=1 c'est un fait largement connu des mathématiciens. Une démonstration quasi rigoureuse et très compréhensible a déja été donnée. Si on appelle a ce nombre on à
10a = 9.999...
10a-a=9
a=1

la borne inférieure d'un nombre ça n'a pas de sens. On parle de la borne inférieur d'un ensemble. C'est le plus grand de ses minorants. La borne inférieure de {1} c'est... 1.

[Archytas]

Archytas : ce n'est pas un "problème non résolu", et sans vouloir préjuger de ton niveau mathématiques on est plusieurs ici à avoir déjà un certain bagage (M2, thèse...) en maths, et cette question est relativement simple (disons niveau L1).

Je parlais à ce moment là du paradoxe de Zénon et non de 0.9999...=1 qui est bien un problème non résolu je cite "Le Beau Livre des Maths" (oui chacun ses références ^^') :

Aujourd'hui les mathématiciens ont recours aux infinitésimaux [...] pour offrir une analyse fine du paradoxe. L'apporche à l'aide d'une branche des mathématiques appelée analyse non standard, et, plus particulièrement, la théorie des ensembles internes, permettrait de résoudre le paradoxe, mais le débat persiste.

0.999= 9/10 + 9/10² + 9/10^3. Donc tu vois bien que par construction 0.99... est bien la limite de cette somme. C'est le principe d'un développement décimale d'un nombre. Tout comme pi = 3/1 + 1/10 +4/10²+...+a_n/10^n+...

sinon pour ça j'ai compris, même si j'ai mis du temps merci (: !

[kazeriahm]

Le paradoxe de Zénon est complètement résolu

cf Wikipédia

En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d%27Achille_et_de_la_tortue

[Archytas]

Le paradoxe de Zénon est complètement résolu

cf Wikipédia


http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d%27Achille_et_de_la_tortue

Arf très bien tant mieux ^^ ! Il faudra que je mette mon livre au goût du jour alors (= !

[vincentroumezy]

Et 0,999999..=1 est bien résolu également (même si de tous temps les gens ont voulu prouver le contraire :))..

[Archytas]

(même si de tous temps les gens ont voulu prouver le contraire )..

Je suis vraiment curieux de savoir de qui tu parles :king: !

[vincentroumezy]

Pas que de toi, c'est une question récurrente ici :lol3: (et je reconnais que ce n'est pas infondé).
Si tu aimes tenter de prouver que des choses vraies sont fausses ou vice versa, tu peux regarder du côté de la quadrature du cercle, ou de la trisection de l'angle :ptdr: