Endomorphisme et supplémentaire

[adrien41]

salut à tous j'ai un exo que je n'ai pas très bien compris :

Soit f un endomorphisme d'un K-ev E tel que : f² = Id
On pose E-1 (en indice) = {x € E / f(x) = -x } et E1 = { x € E / f(x) = x } .
1) Justifier que E1 et E-1 sont des s-ev de E
2) Prouver que E-1 + E1 = E (somme direct )
3) identifier géométriquement f

merci de m'aider car je n'ai pas compris :cry:

bonne soirée

[adrien41]

alors pour 1) j'ai fais : f(x1 + x2) = f(x1) +f(x2) = -x1 -x2 = - (x1 + x2) ça marche (pour E) bon après on fait la même chose pour E-1 et avec le lambda enfin jusque là tout va bien ^^
2) est déjà plus compliqué car ça fait intervenir les supplémentaires : donc j'imagine que l'intersection de E-1 et E vaut zéro, on a déjà prouvé que E1 et E-1 appartiennent à E mais comment on trouve l'intersection ??
3) surment très facile une fois qu'on a trouvé le 2)

[DamX]

salut à tous j'ai un exo que je n'ai pas très bien compris :

Soit f un endomorphisme d'un K-ev E tel que : f² = Id
On pose E-1 (en indice) = {x € E / f(x) = -x } et E1 = { x € E / f(x) = x } .
1) Justifier que E1 et E-1 sont des s-ev de E
2) Prouver que E-1 + E1 = E (somme direct )
3) identifier géométriquement f

merci de m'aider car je n'ai pas compris

bonne soirée

Bonjour,

Tu n'arrives pas la question 1) ? Comment fais-tu pour montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ? Applique juste la définition.

Pour le 2) il faut montrer que E est inclus dans dans E1 et E2, c'est le point technique ici. Pour x dans E, que peux-tu dire de y=(x+f(x))/2 ?

Damien

[adrien41]

Bonjour,

Tu n'arrives pas la question 1) ? Comment fais-tu pour montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ? Applique juste la définition.

Pour le 2) il faut montrer que E est inclus dans dans E1 et E2, c'est le point technique ici. Pour x dans E, que peux-tu dire de y=(x+f(x))/2 ?

Damien

le 1 je l'ai réussi c'est mon 2ème message
pour le 2) je dirais que ça ressemble à la somme de la fonction f de E1 + la fonction f de E2 le tout sur 2, et x de E appartient donc à E1 et à E2

[DamX]

L'intersection nulle est très facile à voir. Considère un x dans l'intersecion, qu vaut f(x) ? Conclusion ?
Cest l'inclusion de E dans E1+E-1 qui est plus intéressante, cf mon MSG précédent

[adrien41]

L'intersection nulle est très facile à voir. Considère un x dans l'intersecion, qu vaut f(x) ? Conclusion ?
Cest l'inclusion de E dans E1+E-1 qui est plus intéressante, cf mon MSG précédent

c'est vrai qu'on a x=-x donc x =0 tu as raison :ptdr:

l'inclusion de E dans E1 + E-1 ... : y=(x+f(x))/2
y=(x+x)/2 = x ?

[DamX]

c'est vrai qu'on a x=-x donc x =0 tu as raison :ptdr:

l'inclusion de E dans E1 + E-1 ... : y=(x+f(x))/2
y=(x+x)/2 = x ?

Euh non pourquoi supposes tu f(x)=x ?

Non que vaut f(y) ? Donc ? Et pour z = x-y ? Conclusion ?

[adrien41]

Euh non pourquoi supposes tu f(x)=x ?

Non que vaut f(y) ? Donc ? Et pour z = x-y ? Conclusion ?

y=(x+f(x))/2
f(y) = f((x+f(x))/2=(f(x)+f²(x)) / 2 = f(x) /2
f(z)=f(x-y)=(f(x)-f(y))=-f(x)/2
f(y) appartient à E1 et f(z) appartient à E-1 ?

[DamX]

y=(x+f(x))/2
f(y) = f((x+f(x))/2=(f(x)+f²(x)) / 2 = f(x) /2
f(z)=f(x-y)=(f(x)-f(y))=-f(x)/2
f(y) appartient à E1 et f(z) appartient à E-1 ?

C'est quoi la définition de l'identité ?

[adrien41]

C'est quoi la définition de l'identité ?

f o f = I² nan ?

[DamX]

f o f = I² nan ?

Tu n'as pas répondu à ma question.

Dans ton message précédent, tu as Ecrit f(y) = (f(x)+fof(x))/2 = f(x)/2
C'est donc que pour toi fof(x)=0.. et donc que Id(x)=0.. D'où ma question sur l'identité

Bref en vrai f(y) = (f(x)+x)/2 = y.
Donc que dire sur y ?

Meme raisonnement avec z=x-y = (x-f(x))/2

Conclusion ?

[adrien41]

Tu n'as pas répondu à ma question.

Dans ton message précédent, tu as Ecrit f(y) = (f(x)+fof(x))/2 = f(x)/2
C'est donc que pour toi fof(x)=0.. et donc que Id(x)=0.. D'où ma question sur l'identité

Bref en vrai f(y) = (f(x)+x)/2 = y.
Donc que dire sur y ?

Meme raisonnement avec z=x-y = (x-f(x))/2

Conclusion ?

sachant que x appartient à E et que f(x) appartient à E1, on a y qui est dans E1 ? car on a f(y) = y
et pour z on a z =x-y = (x-f(x))/2
f(z)=-z ???? et donc z appartient à E-1

[DamX]

sachant que x appartient à E et que f(x) appartient à E1, on a y qui est dans E1 ? car on a f(y) = y
et pour z on a z =x-y = (x-f(x))/2
f(z)=-z ???? et donc z appartient à E-1

Oui y est dans E1, z est dans E-1, et x = y+z.

Je crois bien que la question est finie

[adrien41]

dam x je peux juste te dire un énorme merci !!

vive les maths =p