Fonction exponentielle

[Sse27]

bonjour j'ai un exercice mais il y a des question a laquelle je n'arrive a répondre voici l'énoncé :
la ou je bloque le plus c'est le calcul de la dérivé g'(x)
On considère le point A du plan de coordonnées (1 ; 0) et on s'intéresse au minimum de la distance AM où M est
un point de la courbe C .

1. M étant un point d'abscisse x de la courbe C , calculer en fonction de x la distance AM-> j'ai reussi
2. On considère maintenant la fonction g définie sur IR par :

g(x)=(x-1)²+((e^2x)-(e^-x))²/4
a. Calculer g'(x)
b. On désigne par g''(x)la fonction dérivée seconde de g.
Calculer g''(x)
Montrer que pour tout x réel : g"(x)=e^2x+e^-2x+2

c. En déduire les variations de g'(x)sur R.
d. Montrer qu'il existe un unique nombre réel ;) de l'intervalle [0 ; 1] vérifiant g ‘(;)) = 0.
Vérifier l'inégalité suivante : 0,46<=;)<=0,47.
Déterminer le signe de g'(x)selon les valeurs de x.
e. Déterminer les variations de la fonction g sur R (on ne demande pas les limites de g en +;) et en ;);)). Quel est
le minimum sur R de la fonction g ?
3. Établir que la distance AM est minimum au point M;) d'abscisse ;) de la courbe C .

[Sse27]

s'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide

[annick]

Bonjour,
qu'as-tu déjà fait ?

[Sse27]

Bonjour,
qu'as-tu déjà fait ?

donc voila j'ai fait la dérivé de g(x) ou je trouve sa
Alors je commence par dériver (x-1)² qui est de la forme u.v où v = u, et la dérivée de u² est 2 u.u'
Ce qui fait 2(x-1)
ensuite on s'occupe de la dérivée des exponentielles. De la forme 1/4 u²
1/4 * 2 * ((e^2x)-(e^-x))*(2e^2x-(-e^-x)) je crois
1/2 * (e^2x.2e^2x + e^2x.e^-x - 2e^-xe^2x - e^-x.e^-x)
1/2 (2e^(2x+2x) +e^(2x-x) -2e^(2x-x) -e^(-x-x))
1/2(2e^4x+e^x-2e^x-e^-2x)
1/2(2e^4x-e^x-e^-2x)
Donc g'(x) =2(x-1) + 1/2(2e^4x-e^-2x-e^x)
mais je bloque pour trouver la dérivé de g'(x)

[annick]

Je viens de voir que dans ton énoncé il doit manquer des parenthèses car on ne sait pas bien ce qui est /4.

[Sse27]

je suis désolé c'est moi qui est commis une faute dans la forme de g(x)
je me suis trompé j' ai mis un 2 en plus désolé
g(x)=(x-1)²+(((e^x)-(e^-x))²/4)

[Sse27]

g(x)=(x-1)²+((e^2x)-(e^-x))²/4 = (x-1)² + ((e^2x)²-2e^2xe^-x+(e^-x)²)/4 = (x-1)²+(e^4x-2e^x+e^-2x)/4
maintenant calculons g'(x)
g(x)=(x-1)²+(((e^x)-(e^-x))²/4) = A² +B²/4
g'(x) = 2(x-1) + 1/4*B²'
B²' = 2BB' = 2*(e^x-e^-x)(e^x+e^-x) = 2*[e^(x+x)+e^(x-x)-e^(-x+x)-e^(-x-x)] = 2(e^2x+1-1-e^-2x)
g'(x) = 2(x+1)+1/2(e^2x-e^-2x)
et sa est ce que c'est bon

[annick]

Oui, c'est bon.
Tu vas d'ailleurs en avoir la preuve en calculant g''. Tu dois retomber sur la formule que l'on te donne.