1!+2!+3!+....+n!

par **aviateurpilot** » 15 Juin 2006, 01:20

salut
trouver n,m,k de N tels que:
k>1 et

par **aviateurpilot** » 15 Juin 2006, 17:51

vous n'avez pas de solution?

par **Nightmare** » 15 Juin 2006, 17:52

Ce n'est pas parce que c'est une énigme que tu proposes que tu dois en oublier la politesse. Ensuite, peux-tu me dire à quoi sert de mettre des points d'exclamations dans ton tire ? Ca indique quoi sur l'exercice ? Rien ...

par **S@m** » 15 Juin 2006, 17:55

:ptdr: Toujours envie de rire quand Nightmare met ce genre de mess :zen:
Lé trop forrrt ^^
Et surtout, il a tout à fait raison :happy2:

par **aviateurpilot** » 15 Juin 2006, 18:19

dsl mr Nightmare

pour "!!"
c parceque c une somme des k!
dsl encor meme si tu m'a pas compris

par **aviateurpilot** » 16 Juin 2006, 17:59

Merci par avance pour vos réponses.

par **aviateurpilot** » 21 Juil 2006, 16:18

tres difficile alors
puisqu'il n y a pas de solution

par **hild** » 23 Juil 2006, 18:48

Il me semble que s'agissant d'un exercice portant sur les factorielles, il est normal de voir apparaître quelques points d'exclamations !
(je me permet d'en mettre un ici pour exprimer mon étonnement à Nightmare, lequel j'espère ne pousse pas trop loin sa haine de ce genre de ponctuation :lol4: )

par **Nuwanda** » 23 Juil 2006, 18:58

En fait je dois être un peu con mais j'ai pas compris la question : si c'est juste "en trouver un" alors on peut remarquer que 1!+2!+3! = 3², mais sinon je comprend pas ce qu'on nous demande...Tu peux préciser aviatorpilot ?

par **Nightmare** » 23 Juil 2006, 19:18

hild, le titre a été changé après ma remarque, donc effectivement maintenant celle-ci parait un peu idiote.

par **BiZi** » 26 Juil 2006, 00:34

Bonjour,

Il est clair que 3 divise 1+2!+...+n!, d'où 3 divise m^k, d'où 3 divise m (gauss).

donc m=3^k1*... (décomposition en facteurs premiers, avec k1>=1)

On montre également facilement que 9 divise 1!+2!+...+n! mais que 27 ne divise pas 1!+2!+...+n!

Donc m^k=3^2*... (décomposition en facteurs premiers).

Or on avait m=3^k1*...

donc m^k=3^(k1*k)*...

donc k1*k=2 d'où k=1 ou k=2

Pour k=1, les solutions sont évidentes.

Pour k=2:

On remarque que m^k=3 mod(10) (et on le prouve facilement)

d'où en travaillant avec les congruences,

m=3 mod (10) ou m=7 mod (10)

On parvient ainsi à trouver des conditions sur k qui rendent impossible k=2.

Finalement, les seules solutions sont:

- k=0, m quelconque, n=1 ou n=0.

-k=1, n quelconque, m=1!+2!+...+n!.

non?

Edit:

9 divise 1!+2!+...+n! parce que 1!+2!+3!+4!+5!=153, et que 153=0 mod (9).
De plus, 6!=6*3*quelque chose=9*2*quelquechose. Comme tout diviseur de j! divise n! pour tout n>j, on en déduit que tout le reste est divisible par 9.
De même tous les factorielles qui contiennent 9 et 3 dans leur produit (9!,10!,...n!) sont évidemment divisibles par 27. Il reste ensuite à calculer le reste de la division de 1!+2!+...+8! par 27 ce qui est un peu lourd mais très faisable ( et on trouve évidemment un reste différent de 0, d'où 27 ne divise pas 1!+2!+...+n!).

Enfin, de même 10 divise 5!+6!+7!+...+n! car ces factorielles contiennent un 2 et un 5 dans leur produit. Il reste à calculer le reste de la division de 1!+2!+3!+4! par 10, qui est 3. On travaille évidemment sur des n>3, pour les autres on peut voir au cas par cas.

ca te va, aviateurpilot? :we:

par **El_Gato** » 26 Juil 2006, 16:16

BiZi a écrit:On parvient ainsi à trouver des conditions sur k qui rendent impossible k=2.

Voir le post précédent de Nuwanda. On a pourtant, avec k = 2: 1! + 2! + 3! = 3^2;

par **BiZi** » 27 Juil 2006, 10:14

Oui, pardon! En fait m=3 mod(10) est vrai pour n>3. Il faut donc rajouter la solution n=3, k=2, et m=3. Mais cela ne change rien au fond.

par **aviateurpilot** » 29 Juil 2006, 13:26

bizi a écrit:(1) On montre également facilement que 9 divise 1!+2!+...+n! mais que 27 ne divise pas 1!+2!+...+n!

bizi a écrit:(2) On remarque que m^k=3 mod(10) (et on le prouve facilement)

il faut montrer ça, essaye de donner une solution parfaite

si (2) est vrai ça implique que 1!+2!+3!+..+n! (n>1) est un carré car (k>1)
:++:

par **BiZi** » 29 Juil 2006, 15:04

c'est fait aviateurpilot. M'enfin c'était pour aller plus vite, c'était pas des propriétés très difficiles à prouver :id:

par **aviateurpilot** » 29 Juil 2006, 15:50

maiantenant c'est bien
la prochaine fois essaye une solution parfaite.

c'était pas des propriétés très difficiles à prouver

pas pour tt les membre :++:

1!+2!+3!+....+n!

1!+2!+3!+....+n!

Qui est en ligne