Topologies sur un ensemble donné

[Judoboy]

Plop, un truc qui me passait par la tête : j'ai jamais vu un seul exemple de topologies non comparables. Est-ce que l'ensemble des topologies sur un ensemble donné est totalement ordonnée ?

En gros si on se donne un ensemble S et 2 topologies T1 et T2 sur S, est-ce qu'on a toujours T1 C T2 ou T2 C T1 ? Je pense que non sinon on nous l'aurait dit, mais j'ai jamais vu de contre-exemple...

[Nightmare]

Hello,

on a bien des contre-exemples qu'on peut construire à la main. Sur des ensembles finis par exemple c'est pas trop dur de construire des topologies à la main :

Sur {0;1} on peut considérer les deux topologies : {vide, {0}, {0;1}} et {vide, {1}, {0;1}}. Elles ne sont évidemment pas comparables. (Ce sont des topologies de Sierpinski)

[Judoboy]

Ah bah oui c'était tout con, merci :D

[Nightmare]

C'est marrant cette histoire d'ensemble des topologies. Est-ce qu'on peut le munir lui même d'une topologie non triviale? métrisable?

[Judoboy]

Je dirais qu'on peut forcément vu que munir un ensemble d'une topologie c'est un truc purement ensembliste qui ne dépend que du cardinal de l'ensemble.

Ah en fait on peut pas toujours si la collection des topologies n'est pas un ensemble.

Je sais pas trop ce qu'on peut dire sur le cardinal des topologies d'un ensemble, c'est un élément de P(P(S)) ça commence à être sale...

Edit: je dis peut-être des conneries là je suis en pleines révisions j'ai mal au crâne...

[Nightmare]

Même si l'ensemble est fini, ça me semble assez difficile de dénombrer toutes les topologies.

Cela dit, ma question principale était sur la métrique. Pourrait-on définir de façon naturelle une distance entre deux topologie et qui, pourquoi pas, serait cohérente avec la notion de finesse?

[Judoboy]

Probablement sur des ensembles finis un truc du genre d(T1,T2) = card (T1\T2)+card(T2\T1).

Sur des ensembles infinis peut-être la mesure de ce qui est dans l'un et pas dans l'autre, mais ça demande quelque chose sur l'ensemble de départ.