Intégrale de densité modifiée

[plikskin]

Bonjour !

J'ai un exercice qui paraît tout bête mais je ne sais vraiment pas comment m'y prendre. Je pense qu'il doit s'agir d'une substitution mais je ne vois vraiment pas la quelle m'aiderait. :-S

J'ai une fonction de densité f(x) définie sur R et je dois intégrer entre -infini et +infini f(x-1/x)*dx.

Merci d'avance ! :)

[fatal_error]

salut,

tu connais l'expression de f(x)?

[plikskin]

salut,

tu connais l'expression de f(x)?

Non, c'est censé marcher pour toutes les densités continues j'imagine.

[DamX]

Hello,

C'est bien f(x - 1/x) que tu intègres et non f((x-1)/x) ? Si c'est bien ça alors en effet ça se calcule et ça fait 1 quelque soit ta densité continue !

Je te mets sur le bon chemin : sépare ton intégration en deux morceaux en la valeur singulière (0). et sur chaque intervalle, effectue le changement de variable y=x-1/x et regarde ce que devient l'integrale en y (trinôme à résoudre pour trouver x qui correspond à ton intervalle en fonction de y et récupère le "dx" en fonction de y et "dy".

Et regarde ce que tu obtiens dans les deux intégrales.

Damien

[plikskin]

J'obtiens l'expression suivante pour dx :

dx = (+-(y/2*(y^2+4)^(0.5) + 0.5)dy

Un des intégrales est égale à 0 car elle va de -infini à -infini et l'autre va de -infini à +infini, c'est bien ça ? Donc je me retrouve avec 0.5 + l'intégrale affreuse dont je viens de trouver le dy. ^^

[DamX]

J'obtiens l'expression suivante pour dx :

dx = (+-(y/2*(y^2+4)^(0.5) + 0.5)dy

Un des intégrales est égale à 0 car elle va de -infini à -infini et l'autre va de -infini à +infini, c'est bien ça ? Donc je me retrouve avec 0.5 + l'intégrale affreuse dont je viens de trouver le dy. ^^

Le dx est bon (attention juste à bien savoir dans laquelle intégrale tu utilises la version "+" et dans laquelle la "-").

En revanche tu t'es trompé dans les bornes :
Lim x-1/x | x->-inf = -inf
Lim x-1/x | x->0- = +inf (tu as du te tromper ici)
Lim x-1/x | x->0+ = -inf
Lim x-1/x | x->+inf = +inf

Damien

[plikskin]

Le dx est bon (attention juste à bien savoir dans laquelle intégrale tu utilises la version "+" et dans laquelle la "-").

En revanche tu t'es trompé dans les bornes :
Lim x-1/x | x->-inf = -inf
Lim x-1/x | x->0- = +inf (tu as du te tromper ici)
Lim x-1/x | x->0+ = -inf
Lim x-1/x | x->+inf = +inf

Damien

Je dois utiliser une fois la version + et une fois la version - pour que ça s'annule mais comme les deux intégrales substituées sont identiques cela change-t-il quelque chose si j'intervertis + et - ? De manière générale, confronté à un tel problème (deux valeurs possibles de dx), peut-on juste choisir celle qu'on souhaite ?

[DamX]

Je dois utiliser une fois la version + et une fois la version - pour que ça s'annule mais comme les deux intégrales substituées sont identiques cela change-t-il quelque chose si j'intervertis + et - ? De manière générale, confronté à un tel problème (deux valeurs possibles de dx), peut-on juste choisir celle qu'on souhaite ?

Non tu n'as pas le choix du tout.
Tu pars de ton expression de x = y/2 +/- rac(y^2+4)/2 qui est la solution du trinôme. Et tu ne prends que celle qui convient dans ton intervalle d'intégration !
Sur la première intégrale (x de -inf à 0) tu as donc x0), c'est la version "+" qui est l'unique solution. Il n'y a aucun choix, il y a une seule solution convenable à chaque fois, et si tu en avais plusieurs, ça veut dire que ton changement de variable n'est pas injectif et donc tu ne peux pas le faire (d'où le découpage en deux intégrales pour qu'à chaque fois le changement de variable soit faisable).

Damien

[plikskin]

Ok merci beaucoup ! A chaque fois j'apprends des choses avec toi c'est super ! :)

[plikskin]

Un ami m'a donné un argument sur cet exercice et je n'ai pas su lui répondre. Il a séparé l'intégrale en deux comme tu m'as dit de faire mais il a simplement dit que comme x-1/x mappait monotoniquement de [-infini;0] à R et de [0;infini] à R les deux intégrales étaient égales à 1 et donc le total égale à 2. Peux-tu m'expliquer qui fait faux et pourquoi ?

[DamX]

Un ami m'a donné un argument sur cet exercice et je n'ai pas su lui répondre. Il a séparé l'intégrale en deux comme tu m'as dit de faire mais il a simplement dit que comme x-1/x mappait monotoniquement de [-infini;0] à R et de [0;infini] à R les deux intégrales étaient égales à 1 et donc le total égale à 2. Peux-tu m'expliquer qui fait faux et pourquoi ?

Hello,

Lui a tout faux. Ce n'est pas Parce que tu intègres f(g(x)) sur un domaine tel que g(x) "mappe" ]-infini;+infini[ que l'integrale de fog est égale à lintegrale de f sur R (soit 1 ici). Ca peut être différent tout comme Ca peut meme ne pas converger.

Exemple le plus bête f(2x) à intégrer sur R. Selon son argument, 2x "mappe monotoniquement" R sur R donc lintegrale vaut 1.

Pourtant si il faisait ce qu'on appelle un changement de variable , tu trouves que :


Et pour un exemple plus sophistiqué qui donne un exemple qui ne converge pas, si tu considères f définie sur ]0,+infini[ (loi exponentielle par exemple) et g(x)=1/x. g mappe bien monotoniquement R^+ sur R^+, et pourtant si f(0) > 0 (ce qui est le cas pour une loi exponentielle, lintegrale de f(1/x) ne converge Meme pas, Ca vaut +infini).

Bref son argument est faux.