Récurrence ROC

[honey]

bonjour,

j'ai un exercice de ROC où je dois démontrer par récurrence que pour tout entier n;) 1
on a f(nx)=(f(x))^n
j'ai réussi,

mais après il me demande d'en déduire que pour tout n de N*, f(-nx)=(f(x))^-n

je pensais refaire par récurrence mais quand j'arrive à la deuxième étape pour n=1, je ne suis pas sûre de mon résultat

jai: pour n=1 f(-1x)=f(-x) et (f(x))^-1=f(-x)
donc P1

si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance

[annick]

Bonjour,
à priori, on te dit "en déduire", donc tu ne dois pas avoir de grande démonstration à refaire.
Effectivement, si tu as

f(nx)=(f(x))^n vrai pour tout n, alors c'est vrai pour -n et f(-nx)=(f(x))^-n

Parfois, il ne faut pas chercher plus compliqué que nécessaire et on doit toujours être en alerte quand on demande de déduire d'une question précédente.

[honey]

ah c'est aussi simple que ça!
merci

[honey]

même si ils précisent que n;) 1 je peux avoir -n ?

[annick]

Ta remarque me paraît pertinente et me mets le doute.

[honey]

désolée! je sais pas

[honey]

est ce que j'ai le droit d'écrire:
f(-nx)=f(-n*(x))=f(x)^-n

[annick]

Désolée, Honey, je ne t'ai pas laissé tomber, mais même si je continue de chercher, je ne trouve pas de réponse à ta question.
Par contre, sauf cas très particulier je ne pense pas que ta dernière proposition soit juste.

[annick]

Au fait, tu nous a bien tout donné dans l'énoncé de ton exercice ? Il n'y avait rien d'autre avant qui pourrait nous être utile ? Aucune précision sur la fonction f(x) ?

[honey]

j'avais tout au début f(x+y)=f(x)f(y)
je n'y pensais plus désolée

[annick]

Tu es sûr que c'est tout. Il n'y avait pas non plus f(xy) ?
Pourrais-tu donner le texte entier de ton problème ?

[honey]

soit f une fonction définie sur R telle que pour tout x et y réels, f(x+y)=f(x)f(y)

1-a) montrer que si f(0)=0, alors pour tout réel x, f(x)=0. on suppose dorénavant que f(0)#0
b) démontrer que f(0)=1
c) en déduire que pour tout réel x, f(x)f(-x)=1

2- soit x un réel quelconque
a) démontrer par récurrence que pour tout entier n;) 1 on a f(nx)=(f(x))^n
b) en déduire que pour tout n de N*, f(-nx)=(f(x))^-n

[annick]

Et bien voilà, il manquait le début du problème !

Tu avais démontré que f(x)f(-x)=1, donc tu as aussi f(nx)f(-nx)=1
On a donc f(-nx)=1/f(nx)
Or tu viens de démontrer que f(nx)=(f(x))^n

Donc f(-nx)=1/f(x)^n=f(x)^(-n). C'est ce qu'il fallait démontrer.

J'aurais dû te poser la question de la totalité de ton problème plus tôt car je ne voyais pas comment traiter ta question.

[honey]

merci beaucoup pour votre patiente
je suis désolée de ne pas tout avoir mis plus tôt! maintenant ça me semble évident
merci

[annick]

Pas de problème et ravie d'avoir réfléchi avec toi.
Bonne soirée.

[honey]

merci
bonne soirée à vous aussi