Fonction exponentielle et tangentes

[honey]

bonjour,
j'ai un exercice que je ne parvient pas à faire
voici l'énoncé:

f est la fonction définie sur R par f(x)=e^x. on souhaite étudier la position de la courbe représentative de f, notée C, par rapport à ses tangentes.

1) écrire l'équation de la tangente Ta à la courbe C en son point A d'abscisse a (a réel quelconque)
-> j'obtient: Ta: y=f'(a)(x-a)+f(a)

2) soit ;) la fonction définie sur R par:
;)(x)= (e^x)-e^a *x + a*e^a -e^a
déduire de l'étude des variations de ;)
- le signe de g(x) sur R
- la position de C par rapport à la tangente Ta

-> c'est la que je n'y arrive pas
j'ai tenté de dériver ;) et j'obtient:e^x -e^a, ça ne m'a pas l'air bon

si quelqu'un pouvait m'aider

merci d'avance

[annick]

Bonjour,
pour ta première question, tu connais f(a) et f'(a), donc tu peux remplacer dans l'équation de ta tangente.
Pour la deuxième question, qu'est-ce que c'est que cette fonction g(x) qui apparait ici ?
Ta dérivée de ;)(x) est juste. e^a est une constante.
Donc comment fais-tu si tu cherches ;)'(x)>0 ?
De même pour ;)'(x)<0 ou ;)'(x)=0

[honey]

Bonjour,
pour ta première question, tu connais f(a) et f'(a), donc tu peux remplacer dans l'équation de ta tangente.
Pour la deuxième question, qu'est-ce que c'est que cette fonction g(x) qui apparait ici ?
Ta dérivée de (x) est juste. e^a est une constante.
Donc comment fais-tu si tu cherches '(x)>0 ?
De même pour '(x)<0 ou '(x)=0

merci,
mais je ne vois pas où sont f(a) et f'(a)? malheureusement je ne sais pas d'où sort g(x), ni à quoi ça correspond?
donc après ma dérivée je dois touver les variations de (x), pour cela j'étudie le signe de '(x).or je sais que e^x est strictement positif, donc '(x) dépend de -e^a, je pense donc que '(x) est positive sur -;);1 et négative sur 1;+;)
mais je ne suis pas sure

[annick]

Bon, alors, plusieurs choses :
1) si f(x)=e^x, alors f(a)=e^a
si f'(x)=e^x alors f'(a)=e^a
Donc, comme je le disais, tu connais f(a) et f'(a).
Tu peux alors écrire l'équation de ta tangente qui correspond à ton cas présent et non la formule de la tangente comme tu l'avais fait précédemment.

Ensuite, tu as ;)'(x)=e^x -e^a

;)'(x)>0 équivaut à e^x -e^a>0, soit e^x>e^a d'où x>a
Tu peux continuer pour < et pour = et tu peux ainsi faire ton tableau de signes de ;)'(x), donc ton tableau de variations de ;)(x).

[honey]

ah d'accord! merci!
du coup j'obtient Ta= e^a

et le tableau de signe suivant:
x -;) a +;)
;)'(x) - +

donc ;)(x) est décroissante sur -;);a et croissante sur a;+;)

ducoup la courbe C est au dessus de la tangente Ta pour x compris entre -;);a et en dessous pour x compris entre a;+;) et elle la coupe en a?

[annick]

Encore plusieurs remarques :
1) T(a) : y=e^a(x-a)+e^a=xe^a-ae^a+e^a
2)Ton signe de ;)'(x) est juste et ta croissance de ;)(x) aussi.
Par contre ce qui va t'intéresser, c'est le signe de ;)(x) : regarde ton tableau, étudie bien les bornes de ton domaine et la valeur de ;)(a).
3) Il faut que tu remarques aussi que pour connaître la position de C par rapport à T, on va être amener à étudier le signe de f(x)-y, ce qui revient à étudier le signe de e^x-(xe^a-ae^a+e^a) c'est-à-dire le signe de ;)(x). C'est pour ça que l'on utilise cette fonction ;)(x).

[honey]

merci beaucoup pour votre aide mais ce que je comprend pas c'est pourquoi on remplace f'(a) par e^a et non par la dérivée de e ^a pour l'équation de la tangente?
du coup pour ;)(a) j'obtient e^a mais je comprend pas comment m'en servir pour étudier le signe?
et je ne parvient pas à étudier le signe de e^x-(xe^a-ae^a+e^a)

[annick]

f(x)=e^x
f(a)=e^a (je remplace juste x par a)
f'(x)=e^x
f'(a)=e^a (pareil ici)

T: y=f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a

D'autre part, il faut que tu voies bien que e^a est une constante (par exemple si a=2, e^2 est bien une constante). Or la dérivée d'une constante est égale à 0.

Sinon, pour moi, ;)(a)=0 car ;)(x)= (e^x)-e^a *x + a*e^a -e^a donc ;)(a)=e^a-e^a*a+ae^a-e^a=0 (tout s'annule. Là encore, je remplace juste x par a)

Donc dans mon tableau, ma fonction décroit de +00 à 0, puis croit de 0 à +00. Elle est donc toujours positive et C est toujours au dessus de T

[honey]

je pense que j'ai compris, je vais tout reprendre demain
encore merci