SPE MATH : congruence

[Megabones]

Bonjour alors voilà ayant un DM pour la rentrée je me retrouve à devoir démontrer tous les critères de divisibilités par 9, 3, 5, 4, 25 donc je me doute que pour la plupart on appliquera le même principe de base et j'ai beaucoup cherché j'ai même fait le DM mais mon ami a relevé une erreur dans mon raisonnement à laquelle je ne trouve pas solution, je développe :

pour démontrer la divisibilité par 9 on nous propose avant de montrer que 10 et 10^n sont congruents modulo 9 puis que A=a(n)*10^n+a(n-1)*10^(n-1)+....+a(1)*10^1+a(0) est congruent modulo 9 (donc A est l'écriture classique d'un entier en base 10).

Et là est le soucis car j'arrive à montrer que A peut s'écrire comme "la somme des a(i)*10^i pour i allant de 0 à n" mais là j'ai fais une erreur en simplifiant la somme comme "10^i*somme des a(i) allant de 0 à n". Mais comme je m'en doutais un peu je peux pas faire ça... le truc c'est que dès que j'arrive à cette solution j'arrive à trouver la solution avec les congruences (comme en gros ils veulent qu'on le fasse).

Donc je requiers votre aide pour m'aider à trouver comment réduire "sigma a(i)*10^i pour i allant de 0 à n" comme "10 ou somme de 10 fois quelque chose" car vu que 10 et 0 sont par exemple congruent modulo 9 donc un entier A est divisible par 9 si "la somme de ces chiffres est divisible par 9" c'est à dire si "la somme des a(i) est congrus modulo 0".

J'arrive à montrer ça à condition de réduire la somme... ce que je n'arrive pas à faire donc merci pour ceux qui ont lu en espérant que vous pourrez m'aider :p

[Mortelune]

Bonjour. Tu as du montrer que et on sait aussi que :


Normalement tu devrais pouvoir conclure (parce que tu ne peux pas factoriser mais il y a une opération élémentaire que tu as le droit de faire qui te ramènera au même cas).

[Megabones]

comment je justifie a(i)10^i et 10^i sont congrus modulo 9, car j'ai une question intermédiaire qui me demande de justifier que A (dont on sait que A= an*10^n+a(n-1)*10^n-1...+a(1)*10+a0) est congrus avec a(n)+a(n-1)...+a(1)+a(0) modulo 9 ??

[Mortelune]

Eh bien on a facilement que :

(il y a n 9)

D'où la congruence cherchée.

et c'est cette question intermédiaire qui est la question essentielle puisque c'est celle-ci qui donne le dernier point qui justifie le critère de divisibilité par 9.

Mais sinon, ça : "a(i)10^i et 10^i sont congrus modulo 9", c'est faux si a(i) est quelconque.

[Megabones]

je vois pas pourquoi tu me parles de 10^n-1 enfin où est le rapport avec ce que je veux démontré à savoir que A (mon entier) est congrus modulo 9 à la somme des a(n) c'est à dire an+an-1+...+a1+a0

[Mortelune]

Parce que tu as besoin de ça:
.

Et que tu avais l'air de ne pas l'avoir montré.
Ensuite tu as besoin d'utiliser les propriétés des congruences sur la multiplication et l'addition mais tu dois les connaitre.

[Megabones]

non mais regarde on sait que 10 et 1 sont congrus modulo 9 donc 10^i et 1(^i donc 1) sont congrus modulo 9 ça j'arrive à le montrer mais comment j'en déduis que donc A= somme des a(i)*10^i est congrus à la somme des a(i) modulo 9 ?

[Mortelune]

Parce que tu sais que si alors on a .

Et de même si on a aussi alors .

Le tout pour a, b, c, d, e et p des entiers.

[Megabones]

en effet j'avais oublié ce point de vue merci beaucoup de ton aide tu m'aides beaucoup grâce à ça :)