Ensemble "moitié" de R

[Judoboy]

Salut, je sais que ça a déjà été discuté ici mais je retrouve plus le fil, ni la question exacte mais en gros la question que je me pose : est-ce qu'il existe un ensemble M inclus dans R tel pour tout intervalle I de R, la mesure de Lebesgue de I inter M soit égale à la moitié de la mesure de I ?

[Arkhnor]

Bonjour.

La réponse est non : d'après le théorème de densité de Vitali-Lebesgue (je suppose bien sur que M est borélien, sinon la question n'a pas tellement de sens) on sait que pour presque tout , on a , où est la fonction indicatrice de .
Or par hypothèse, ce qui est contradictoire avec le fait précédent.

Je sais qu'il y a une preuve plus élémentaire qui a été donnée sur le forum. Il me semble que c'est Doraki qui avait donné cette preuve.

[Judoboy]

C'est un peu tuer une mouche avec un canon ça non ? Puis le théorème de Vitali Lebesgue j'en ai jamais entendu parler, c'est le théorème de recouvrement de Vitali ?

Désolé pour les questions de n00b mais j'ai jamais vraiment fait de théorie de la mesure, c'est juste que cette question m'intrigue.

[Arkhnor]

Puis le théorème de Vitali Lebesgue j'en ai jamais entendu parler, c'est le théorème de recouvrement de Vitali ?

C'est une conséquence du théorème de recouvrement. Pour la mesure de Lebesgue, ce théorème peut se démontrer facilement, dans le cas d'un recouvrement fini. Il entraine le théorème de différentiation de Lebesgue, qui entraîne le théorème de densité que j'ai cité.

Le wiki français ne parle que du théorème de différentiation, et pas de son pendant sur la densité. Le lien vers le wiki anglais : Théorème de densité de Lebesgue

La question que tu te poses est traitée dans le livre de Rudin, et c'est le même argument qui est employé. Après, comme je l'ai dit, j'ai déjà vu passer un autre argument sur le forum, plus élémentaire, mais c'est quand même pas une évidence non plus.

EDIT : Voici le sujet auquel je faisais référence : Topic. L'argument de doraki repose sur un résultat d'unicité des mesures. C'est quand même plus élémentaire que ce que je propose, je te l'accorde. (reste à savoir pourquoi Rudin ne l'a pas remarqué )

[Judoboy]

Il est vraiment trop fort ce Doraki. Merci pour tes réponses en tout cas, comment t'as fait pour retrouver le topic en question ?

[Anonyme]

@Judoboy
Utilise l'outil de MF qui s'appelle "recherche avancée" ( à coté du gros bouton rouge TROUVER )
avec des mots clés de ton choix : "ensemble moitié R" (par exemple)

[Judoboy]

Haha, 550 messages et j'avais jamais vu ce truc :D

Merci pour vos réponses.