Problème de proba

[jcpa]

Bonjour, j'ai un problème de proba à résoudre, si quelqu'un pouvait m'aider !

Un message codé de façon binaire est transmis par un réseau comportant n relais. On supposera que la probabilité d'émission d'un 0 pour chaque bit du message initial codé est G0 et que la probabilité d'un 1 est par conséquent F0=1-G0
Chaque bit est transmis avec une probabilité d'erreur :
=a pour un passage de 0 à 1, a est différent de 0 et de 1,
=b pour un passage de 1 à 0, b est différent de 0 et de 1.
Le résultat de la transmission au n-ième relais est noté Xn. On suppose que les relais se comportent indépendamment les uns des autres et que les erreurs sur les bits sont indépendantes.
On souhaite calculer la taille critique du réseau au dela de laquelle la probabilité de recevoir un message erroné est supérieure à E (il est demandé de tester plusieurs valeurs de E que l'on jugera judicieuses).
Soit l la longueur du message.
1/ Résoudre de manière théorique cette question. On supposera dans un premier temps que l=1.
2/ Puis dans une seconde étape nous supposerons que l>1.

Indications : Commencer la résolution avec l=1, décrire explicitement les 2 ou 3 premières étapes, en déduire une relation de récurrence dont on calculera le point fixe. Puis établir la probabilité pour que le message Xn ne soit pas erroné lorsqu'un 1 est émis et lorsqu'un 0 est émis. Poursuivre la résolution...

Voili voilou !

[Quidam]

Dis nous ce que tu as fait et où tu es bloqué !

[jcpa]

Je n'ai pas été loin !
Le problème c'est que je bloque dans le raisonnement : on nous dit de commencer avec l=1, donc on n'envoit qu'un bit. Mais si on n'envoit qu'un bit, il est transmis avec une probabilité d'erreur nulle, non ? parce que d'après l'énoncé c'est lorsqu'on passe d'un bit a l'autre qu'il y a une probabilité d'erreur... si je continue dans ce raisonnement, ca veux dire qu'au bout du n-ième relais, la probabilité d'avoir un message identique au message initial est égale à 1. Donc ca ne m'aide pas trop à trouver une récurrence ça ! ca doit être faut :wrong:

[Quidam]

Je n'ai pas été loin !
Le problème c'est que je bloque dans le raisonnement : on nous dit de commencer avec l=1, donc on n'envoit qu'un bit. Mais si on n'envoit qu'un bit, il est transmis avec une probabilité d'erreur nulle, non ? parce que d'après l'énoncé c'est lorsqu'on passe d'un bit a l'autre qu'il y a une probabilité d'erreur... si je continue dans ce raisonnement, ca veux dire qu'au bout du n-ième relais, la probabilité d'avoir un message identique au message initial est égale à 1. Donc ca ne m'aide pas trop à trouver une récurrence ça ! ca doit être faut :wrong:

Très juste, j'avais mal lu !
Tu as raison en ce qui concerne le premier bit - peut-être peut-on raisonnablement penser que la probabilité d'erreur est nulle dans ce cas là ! Mais de toutes façons, l'énoncé est effectivement incomplet ; dire que
[INDENT]Chaque bit est transmis avec une probabilité d'erreur :
=a pour un passage de 0 à 1, a est différent de 0 et de 1,
=b pour un passage de 1 à 0, b est différent de 0 et de 1.[/INDENT], c'est laisser entendre que la probabilité d'erreur est nulle dans les autres cas, c'est à dire quand on passe de 1 à 1 ou de 0 à 0. Je pense que cet "oubli" est bien trop considérable... De plus, que dire des "sous-cas" passer de 1 à 1 alors qu'il n'y avait pas d'erreur sur le premier 1, passer de 1 à 1 alors qu'il y avait erreur sur le premier 1, etc... Je ne serais pas étonné outre mesure s'il s'avérait qu'une transmission erronée d'un bit avait une influence sur la qualité de la transmission du bit suivant !!! On peut tout imaginer si, comme c'est mon cas, on ignore la physique du phénomène...

Le problème est bien mal posé ! Comme il y a pas mal d'hypothèses complémentaires à faire, je te suggère de compléter l'énoncé à ta guise et à ce moment là peut-être pourras-tu avancer !

[mevoila]

:we: :we: :we: :we: j'ai le même devoir et je sèche aussi. il y en a qui ont eu la même idée que moi.

[alben]

Je n'ai pas été loin !
parce que d'après l'énoncé c'est lorsqu'on passe d'un bit a l'autre qu'il y a une probabilité d'erreur...

Bonjour
Petit problème de lecture je pense. :happy2:
Il faut certainement lire "si le bit à transmettre est 1, la proba d'erreur est b" c'est à dire que le 1 envoyé est "passé" à 0 à l'arrivée.
et idem pour a
Ainsi la proba d'erreur avec un seul relais serait :g0*a+(1-g0)*b
et avec 2 relais g0*a*(1-a+1-b)+f0*b(1-a+1-b)

[jcpa]

Bonjour
Petit problème de lecture je pense. :happy2:
Il faut certainement lire "si le bit à transmettre est 1, la proba d'erreur est b" c'est à dire que le 1 envoyé est "passé" à 0 à l'arrivée.
et idem pour a
Ainsi la proba d'erreur avec un seul relais serait :g0*a+(1-g0)*b
et avec 2 relais g0*a*(1-a+1-b)+f0*b(1-a+1-b)

Ah mé ouiiii !
Je n'y avais pas pensé comme ça mais en effet, ca parait une meilleurs interprétation du sujet ! ou en tout cas une interprétation qui permet d'avancer ! Je te remercie, je vais essayer de creuser par là !

[Quidam]

Bonjour
Petit problème de lecture je pense. :happy2:
Il faut certainement lire "si le bit à transmettre est 1, la proba d'erreur est b" c'est à dire que le 1 envoyé est "passé" à 0 à l'arrivée.
et idem pour a
Ainsi la proba d'erreur avec un seul relais serait :g0*a+(1-g0)*b
et avec 2 relais g0*a*(1-a+1-b)+f0*b(1-a+1-b)

Bien vu ! Bravo ! Je n'avais pas pensé à cette interprétation... A la réflexion, c'était évident ! Pourquoi ne l'ai-je pas compris comme ça moi aussi ? :mur: Merci alben, tu as fait avancer le problème...

[alben]

A la réflexion, c'était évident ! Pourquoi ne l'ai-je pas compris comme ça moi aussi ?

La confusion existait dans la tête du rédacteur du problème (sans donc négligemment adapté à partir d’un autre énoncé) ; il insiste lourdement sur la longueur du message alors que la récurrence porte sur la longueur du réseau