2 exos de trigo

[nekros]

Salut,

Deux exos sympas : (au cas où le premier serait un classique)

***Résoudre pour


***Trouver tous les réels tels que , et forment une progression géométrique.

PS : trois réels , et forment une progression géométrique si et seulement si il existe tel que , .

Bonne chance.

Thomas G :zen:

[nekros]

Personne ? :triste:

Thomas G :zen:

[Bouchra]

Bonjour,
pour le 1er,
On a pour tout n >= 3 :
(cos(x))^n - (cos(x))^2 = cos^2 (x) [ cos^(n-2) (x) - 1) = x= k*pi/2, k enier.
sin^n (x) = sin^2 (x) k*pi/2, k entier.
comme sin^2(x) + cos^2(x) = 1 , on a cos^n (x) + sin^n (x) = 1 x= k*pi/2 (grâce à (*) on est dans le cas d'égalité)

2) n impair: n-2 impair donc cos^n (x) = cos^2 (x) x=pi/2 + k*pi ou x = 2k*pi
sin^n (x) = sin^2 (x) x=k*pi ou x=pi/2 + 2k*pi
sin^2(x)+cos^2(x) = 1, d'où cos^n (x) + sin^n (x) = 1 cos^n (x) = cos^2(x) et sin^n(x) = sin^2 (x) x=2k*pi ou x=pi/2 + 2k*pi, k entier

Tiens je viens de me rendre compte que la sol donnée ici est fausse http://maths-express.com/forum/detail.php?forumid=2&id=14814&p=3

pour le 2 :

Je note B = , a = et C =

B, a et C forment une progression géométrique BC = a^2 avec b = tanx.

a^2 - b^2 = a ^2(1-a^2b^2)
b^2(a^4-1) = 0
b = 0 = tanx car tan(pi/12) est différent de tan(pi/4) = 1 (tan strictement croissante sur [0,pi/2[) on peut aussi calculer facilement tan(pi/12) mais c'est pas la peine .

donc B, a et C forment une prog géométrique x = k*pi , k entier .

(sauf erreur)

[hild]

Je dis que x=k*pi/2, k dans Z.

Déjà, si c'est le cas, ça marche. Si ce n'est pas le cas, alors, 0 0d'où, vu que n>2, cos^2(x )>cos^n(x), et de même pour sin. Ce qui signifie que sin^n(x)+cos^n(x)
D'où le résultat...

[hild]

Zut, j'ai été devancé d'un rien...

[Bouchra]

Lol,

mais pour x= -pi et n=3 :
cos^3(-pi)+sin^3 (-pi) = -1 différent de 1.

[nekros]

Bravo. :++:

Pour le 1, on a bien si n pair, et si n est impair, ou

Pour le second exo, il y a en fait trois cas possibles, dont la solution de Bouchra.
En effet, on pouvait considérer aussi :

***

***

Merci d'avoir participé. :happy2:

Thomas G :zen:

[Bouchra]

D'après ta définition :

trois réels , et forment une progression géométrique si et seulement si il existe tel que , .

Donc les deux autres cas sont exclus, non ?

[nekros]

Arf oui, la façon dont j'ai rappelé la définition restreignait les différents cas :ptdr:
Mais on peut permuter , et .
Normalement, il faut bien considérer trois cas.

Thomas G :zen:

[nekros]

Pour le second cas, je trouve que ou
Pour le troisième cas, je trouve que ou

Thomas G :zen:

[nekros]

Toutes mes excuses Bouchra.
Il manquait un point crucial dans ma définition que je réecris :

"a,b,c forment dans cet ordre une progression géométrique..."

Thomas G :zen:

[Bouchra]

C'est pas grave, Nekros . :happy2:

J'ai pas encore fait les calculs pour les autres cas mais x= 0 est tjrs solution pour les 2e et 3e cas.

[nekros]

Effectivement...
Je revois mes calculs !

Thomas G :zen:

[nekros]

Non c'est bon !

En fait, dans le deuxième cas, en développant les calculs, on s'aperçoit que l'on tombe sur une équation à résoudre dont l'une des solutions est .

Je l'ai donc mis de côté et j'ai cherché les autres solutions.
J'ai donc modifié mon post !

Merci

Thomas G :zen:

[nekros]

On cherche tel que :



Notons et

Donc équivaut à ou encore

Or, a déjà été traité.

On remarque que :

Or, donc

L'équation s'écrit donc :

Donc soit

Thomas G :zen:

[nekros]

Pour le dernier cas, on cherche tel que , il suffit de poser , et on se ramène alors au cas précédent.

Donc les solutions sont ou :lol3:

Thomas G :zen:

[Bouchra]

Tout bon (sauf à la fin où tu voulais sûrement dire "ou x=k*pi").

Pas mal le z/(1-z^2) = tan(2*pi/12), moi je m'étais trompée dans le calcul et j'arrivais même pas à factoriser par (1+z^2), et j'étais partie dans un calcul de delta :ptdr: .

[nekros]

Ah oui, merci, c'est bien x=kPi (c'est corrigé)
Sûrement la chaleur... :dodo:

En tout cas merci d'avoir participé !

Thomas G :zen:

[Bouchra]

Pas de quoi. :we: