Géométrie

[Sullivan021]

Bonjour je suis en 4eme et j'ais un D.M a faire mais je n'y arrive pas (Personne n'y arrive ) (Je suis nul en math )
Voila l'énnoncé :

ABCD est un quadrilatere quelquonque .Soit I le milieu de [AB],J le milieu de [BC] , K le milieu de [CD]et L milieu [AD]
Demontrer que IJKL est un parallélogramme

Merci d'avance pour votre aide et si possible j'aimerais des expliquations sur le procedé utilisé car je voudrais m'ammelioré :)

Bonne Matinée/Aprés-Midi/Soir


(PS: Quelqu'un m'a deja aidé sur cette ex mais je n'y arrive toujours pas )

[C.Ret]

Bonjour,

As-tu fais une figure ?
A quel endroit est-ce que tu bloque ?

[Sullivan021]

Oui j'en ais fais une
Je vois pas quelle propriete ou même quelle données utilisée pour demontrer sa

[C.Ret]

Qu'est-ce qui différencie un quadrilatère quelconque d'un parallèlogramme ?

[Sullivan021]

Un quadrilatère quelconque a ses quatres cotés de même longueur et sont parralélé et un parallèogramme a ses coté egaux paralléle entre eux

[C.Ret]

C'est pas très clair.

Un quadrilatère a quatre coté quelconques, alors qu'un parallèlogramme a lui aussi quatre coté, mais les cotés sont deux à eux de même longueur et surtout sur des droite paralèle.

C'est la propriété principale du parallèlogramme; le parallèlisme. Le fait que les longueurs soien égales est plus ou moins une conséquence de la première propriété.

Il nous faut donc montrer que les droites qui portent les coté du parallèlogramme IJKL sont parallèles.

C'est à dire montrer que (IJ) // (KL) et (IK) // (IL).

Dans tes cours de géométrie récents, n'y a-til pas des propriété et théorème concernant le parralèlisme de droites ?

[Sullivan021]

Non il n'y en a pas :/

[C.Ret]

Non il n'y en a pas :/

Il n'y a aps un truc qui dit, si deux droites sont parallèles alors toute droisième droite parallèle à l'une est également parallèle à l'autre ?

Par ailleurs, les points I,J,K et L ne sont pas quelconques. Ce sont des milieux de segments.

Il n'y a pas dans ton cours récent quelque chose, comme un théorème par exemple, qui parle de droites parallèles et de milieu de segment ??

[Sullivan021]

Je n'ais pas de cours dessus car il nous a laché sa comme sa ,nous n'avons rien etudiés voila pourquoi jsuis un peu perdu la :/

[C.Ret]

Oui, mais ce n'est pas la première fois de ta vie que tu fais de la géométrie ? Si ?

As-tu déjà entendu parlé d'un certain Théorème de Thales ?

Ou au moins du théorème des milieux ??

[Sullivan021]

Non ce n'est pas la premiere fois ^^

Deja entendu ce nom mais je ne sais pas ce que sa signifie

Oui je connais le theoreme de la droite des millieux

[C.Ret]

Soient [AB] et [AD] deux segments.
Si I et L sont les mileux respectifs des segments [AB] et [AD], alors les droites (IL) et (CD) sont parallèles.

Petit shéma :




Donc, avec ce théorème des milieux et les propriétés des trois droites parallèle, on peut montrer que IJKL est un parallèlogramme:

On ne peut pas montrer diretemetn que (IJ) // (KL) --- et respectivement (IL) // (JK) ---, mais on peut le faire en montrant dans un premier temps que (IJ) // (BD) en appliquant la propriété des milieux en considérant le point A et les deux coté adjacent ( théorème de Thalès appliqué en A).
Puis, on fait de même en considérant le sommet opposé, c'est à dire le point C.

Au point A, les points I et L sont les mileux respectifs des segments [AB] et [AD]; les droites (IL) et (BD) sont donc parrallèles.

Au point C, les points J et K sont les milieux respectifs des segment [CB] et [CD]; les droites (JK) et (BD) sont donc parallèles.

On a donc (IL)//(BD) et (JK)//(BD). Comme (IL) et (JK) sont parrallèles à la même droite (BD), elle sont également parallèles entre-elles :

On a donc montré que (IL)//(JK).


Reste plus qu'à faire le même raisonnement aux points B et D afin de démontrer de la même façon que (IJ) // (KL).. Cette fois la droite parallèle commune sera la droite (AC).

[Sullivan021]

Merci Beaucoup :)