Triangle équilatéral et hyperbole

[Typhon94]

Bonsoir, je "bloque" sur la toute premiere question d'un exercice.

Soit les coniques généralisées qui passent par les 3 sommets A,B,C et le centre O d'un triangle équilatéral.

Montrer qu'il s'agit forcément de coniques de type hyperbole, sans calcul.

J'arrive pas à trouver mes mots. Je voulais montrer que c'est évidemment pas l'ellipse, ni la parabole donc forcément l'hyperbole.
Pour le cas de l'ellipse, si A, B et C appartiennent à l'ellipse, il est évident que le centre ne peut pas être sur l'ellipse, de même pour la parabole. Et cette "évidence" je ne vois pas comment l'expliquer...

Merci pour un coup de pouce.

[Deliantha]

Soit les coniques généralisées qui passent par les 3 sommets A,B,C et le centre O d'un triangle équilatéral.

Montrer qu'il s'agit forcément de coniques de type hyperbole, sans calcul.
[...]
Merci pour un coup de pouce.

Commence déjà par revoir un cours sur la caractérisation des coniques via leurs positions et équations...
Après, l'exo qui est évoqué ici a été traité sur l'île aux mathématiques me semble-t-il (à vérifier du moins).

[Dlzlogic]

Bonjour,
Moi, je vais vous donner une piste : étudiez la partition du plan par une conique.

[Doraki]

Bonsoir, je "bloque" sur la toute premiere question d'un exercice.

Soit les coniques généralisées qui passent par les 3 sommets A,B,C et le centre O d'un triangle équilatéral.

Montrer qu'il s'agit forcément de coniques de type hyperbole, sans calcul.

J'arrive pas à trouver mes mots. Je voulais montrer que c'est évidemment pas l'ellipse, ni la parabole donc forcément l'hyperbole.
Pour le cas de l'ellipse, si A, B et C appartiennent à l'ellipse, il est évident que le centre ne peut pas être sur l'ellipse, de même pour la parabole. Et cette "évidence" je ne vois pas comment l'expliquer...

Merci pour un coup de pouce.

L'intersection d'une droite avec une conique contient toujours au plus 2 points.
En outre, si tu traces une courbe reliant les points A B C O (quelque soit l'ordre), il y aura toujours une droite qui coupera ta courbe en au moins 3 points.

[chan79]

Bonsoir, je "bloque" sur la toute premiere question d'un exercice.

Soit les coniques généralisées qui passent par les 3 sommets A,B,C et le centre O d'un triangle équilatéral.

Montrer qu'il s'agit forcément de coniques de type hyperbole, sans calcul.

J'arrive pas à trouver mes mots. Je voulais montrer que c'est évidemment pas l'ellipse, ni la parabole donc forcément l'hyperbole.
Pour le cas de l'ellipse, si A, B et C appartiennent à l'ellipse, il est évident que le centre ne peut pas être sur l'ellipse, de même pour la parabole. Et cette "évidence" je ne vois pas comment l'expliquer...

Merci pour un coup de pouce.

salut
juste une image dans le cas de l'hyperbole
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img99/6384/53509059.png[/img][/IMG]

[hammana]

L'intersection d'une droite avec une conique contient toujours au plus 2 points.
En outre, si tu traces une courbe reliant les points A B C O (quelque soit l'ordre), il y aura toujours une droite qui coupera ta courbe en au moins 3 points.

Je n'avais pas remarqué qu'il fallait démontrer sans calcul.
Je vais démontrer d'une manière générale que si un triangle quelconque est inscrit dans une ellipse, aucun point intérieeur au triangle ne peut appartenir à l'ellipse. Soit un triangle ABC inscrit dans une ellipse de foyers F1 et F2. M le point d'intessecction de AB avec la droite joignant F2 au symétrique de F1 par rapport à AB. M est le point de AB pour lequel la distance MF1+MF2 est minimum, les points A et B sont nécessairement de part et d'autre de M. Il est facile de montrer que pour tout point M' intérieur à AB la somme M'F1+M'F2 est inférieure à AF1+AF2.
Si I est un point qque intérieur au triangle, M' l'intersection de la droite CI avec AB et C' son intersection avec l'ellipse, il résulte de ce qui précède que M' est entre C et C', et aucun point de la droite CC' ne peut appartenir à l'ellipse.
Remarquer au passage que l'on retrouve la construction de la tangente à l'ellipse

[Dlzlogic]

Bonjour Chan,
J'ai un petit doute sur la figue.
La médiatrice est perpendiculaire au côté opposé.
Un segment de l'hyperbole ne peut pas être perpendiculaire à une asymptote.
Je connais pas très bien l'hyperbole, mais je pense que la figure OABC détermine une hyperbole et une seule, si elle existe (je crois qu'elle existe), à une rotation de 120° près.
OA est un axe de symétrie, le point de concours des asymptotes est le milieu de OA. Elles font un angle de 45° avec OA.
Mais j'ai peut-être tout faux. :mur:

[Maxmau]

Bonsoir, je "bloque" sur la toute premiere question d'un exercice.

Soit les coniques généralisées qui passent par les 3 sommets A,B,C et le centre O d'un triangle équilatéral.

Montrer qu'il s'agit forcément de coniques de type hyperbole, sans calcul.

J'arrive pas à trouver mes mots. Je voulais montrer que c'est évidemment pas l'ellipse, ni la parabole donc forcément l'hyperbole.
Pour le cas de l'ellipse, si A, B et C appartiennent à l'ellipse, il est évident que le centre ne peut pas être sur l'ellipse, de même pour la parabole. Et cette "évidence" je ne vois pas comment l'expliquer...

Merci pour un coup de pouce.

Bj
tu as raison
l'intérieur d'une ellipse ou d'une parabole sont des parties du plan strictement convexes
Ca marche aussi pour un triangle ABC quelconque et son centre de gravité

[chan79]

Bonjour Chan,
J'ai un petit doute sur la figue.
La médiatrice est perpendiculaire au côté opposé.
Un segment de l'hyperbole ne peut pas être perpendiculaire à une asymptote.
Je connais pas très bien l'hyperbole, mais je pense que la figure OABC détermine une hyperbole et une seule, si elle existe (je crois qu'elle existe), à une rotation de 120° près.
OA est un axe de symétrie, le point de concours des asymptotes est le milieu de OA. Elles font un angle de 45° avec OA.
Mais j'ai peut-être tout faux. :mur:

tu as peut-être raison
j'ai tracé l'hyperbole d'équation xy=1
j'ai mis un point A dessus
J'ai tracé l'image de cette hyperbole par la rotation de centre A et d'angle 120°.
Les intersections déterminent un triangle qui a l'air d'être équilatéral.
Ca reste à démontrer.
voir le lien (déplacer A)
lien

[Dlzlogic]

Oui, vraiment bien.
Je suis parti du principe que 3 points définissent une conique. C'est vrai pour la parabole, au moins pour l'arc passant par les 3 points, j'en ai déduit peut-être abusivement qu'il en était de même pour l'hyperbole.
Ca pourrait faire l'objet d'un défi, en fait c'est pas très dur à vérifier. Je vais regarder.
On peut poser le problème autrement, soient 4 points OABC combien existent-il d'hyperboles ?
A première vue, un système de 8 équations.
Soit 1 solution à 120° près
Soit 0 solution --> problème impossible
Soit une infinité de solutions, ce que j'appelle "problème indéterminé".
On peut aussi étendre à 4 points quelconque non alignés.

[chan79]

Oui, vraiment bien.
Je suis parti du principe que 3 points définissent une conique. C'est vrai pour la parabole, au moins pour l'arc passant par les 3 points, j'en ai déduit peut-être abusivement qu'il en était de même pour l'hyperbole.
Ca pourrait faire l'objet d'un défi, en fait c'est pas très dur à vérifier. Je vais regarder.
On peut poser le problème autrement, soient 4 points OABC combien existent-il d'hyperboles ?
A première vue, un système de 8 équations.
Soit 1 solution à 120° près
Soit 0 solution --> problème impossible
Soit une infinité de solutions, ce que j'appelle "problème indéterminé".
On peut aussi étendre à 4 points quelconque non alignés.

Il y a en général une infinité de coniques passant par 4 points

[Dlzlogic]

Il me semble que l'équation générale d'une conique comporte 6 paramètres, ce qui correspond à la définition de 3 points.
Soient 3 points quelconques non alignés, ils définissent 1 cercle et un seul, probablement 2 ellipses, je pense 1 parabole.
Avec 4 points, "extérieurs", il existe peut-être une ellipse, une parabole, je pense pas.
Pour l'hyperbole, je ne dis rien il faut que je calcule un peu plus.

[chan79]

Il me semble que l'équation générale d'une conique comporte 6 paramètres, ce qui correspond à la définition de 3 points.
Soient 3 points quelconques non alignés, ils définissent 1 cercle et un seul, probablement 2 ellipses, je pense 1 parabole.
Avec 4 points, "extérieurs", il existe peut-être une ellipse, une parabole, je pense pas.
Pour l'hyperbole, je ne dis rien il faut que je calcule un peu plus.

allez, encore un petit fichier
si on connait 4 points et les directions des axes de symétrie, on a la conique
En déplaçant un point rouge, tu changes la directions des axes
lien

[Dlzlogic]

Oui, mais, j'ai oublié de dire que dans mon esprit, les axes de symétrie de coniques étaient parallèles aux axes du repère. On peut s'y ramener par un changement de repère.
Dans le cas présent de l'exercice, la figure servant de définition à l'hyperbole est définie par 2 points, puisque les deux autres s'en déduisent directement à une rotation près.
Par ailleurs, tes simulations sont vraiment jolies.