Sens de variation, intégrale.

[Fredi378]

Pour tout entier k, on considère la fonction Fk définie sur R+, par la relation :

Fk(x) = Intégrale de 0 à 1 de t^k * exp(-tx) dt

Question : Montrer que pour tout entier k, la fonction Fk est décroissante sur R+.

Déjà, le fait qu'il y ait autant de variables différentes me perturbe un peu. Ensuite j'ai essayé de faire la dérivée de l'intégrale, mais d'après mon professeur ce n'est pas ainsi qu'il faut procéder.. Si quelqu'un voit comment l'on peut faire !

[bentaarito]

Pour tout entier k, on considère la fonction Fk définie sur R+, par la relation :

Fk(x) = Intégrale de 0 à 1 de t^k * exp(-tx) dt

Question : Montrer que pour tout entier k, la fonction Fk est décroissante sur R+.

Déjà, le fait qu'il y ait autant de variables différentes me perturbe un peu. Ensuite j'ai essayé de faire la dérivée de l'intégrale, mais d'après mon professeur ce n'est pas ainsi qu'il faut procéder.. Si quelqu'un voit comment l'on peut faire !

Déjà, comme ça c'est plus joli:
Ici ta variable est x. donc tu veux montrer, qu'à k fixé, F est une fonction décroissante de x.
As tu vu la dérivation sous le signe ?

[bentaarito]

Juste une remarque:
Ton expression ne contient qu'une seule variable qui est x ici, k est appelé paramètre ( ça sera une variable si tu considère la suite des ) et t c'est une variable muette ( tu peux la remplacer par z ou u, ça change rien) donc ce n'est pas réellement une variable

[Fredi378]

Juste une remarque:
Ton expression ne contient qu'une seule variable qui est x ici, k est appelé paramètre ( ça sera une variable si tu considère la suite des ) et t c'est une variable muette ( tu peux la remplacer par z ou u, ça change rien) donc ce n'est pas réellement une variable

D'accord pour les variables, mais ça ne me dit pas comment procéder pour trouver le sens de variation de Fk :/

[bentaarito]

Soit . Que peux-tu dire de et

[Fredi378]

[quote="bentaarito"]Soit
Et donc par croissance de l'intégrale, ( 0<1) on peut en conclure la même chose avec les intégrales, donc Fk décroissante ?

[bentaarito]

oui, c'est correct

[Fredi378]

Juste une indication pour la suite. Je dois étudier la suite (Fk(0))k>0 de nombreux réels.

déjà je trouve,

car exp(0) =1.
Après j'essaie de calculer le sens de variation de cette suite, en posant

Je résous ensuite l'inéquation en commençant par k t^k 0 est croissante sur R+.

En supposant que j'ai bon jusque là, on me demande alors d'en déduire, pour tout nombre réel positif x la limite de la suite (Fk(x))k>0.
Est-ce qu'il faut utiliser le théorème des suites adjacentes, puisque j'ai (Fk(0))k>0 croissante et (Fk(x))k>0 décroissante?

[bentaarito]

pour Fk(x) est décroissante?

[Fredi378]

pour Fk(x) est décroissante?

Ah non.. Au temps pour moi, j'ai confondu la fonction Fk et la suite (Fk(x)).