DM Fonctions/Tangentes perpendiculaires

[Siriuss]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un dm, je n'ai pas compris grand chose. C'est un problème ouvert. Voici l'énoncé :
On se place dans un repère orthonormé.
On considère les fonctions f et g définies par f(x)=racine(x+a) et g(x)=racine(3-2x) où a est un réel fixé
quelconque.
Déterminer les valeurs de a pour lesquelles les courbes représentatives des fonctions f et g se
coupent en un point où les tangentes respectives sont perpendiculaires.
On commencera par conjecturer la réponse à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique comme
géogébra.

Donc j'ai fait la conjecture sur geogebra, et j'ai trouvé a= -0.8, cependant dans l'énoncé il est dit "déterminer LES valeurs de a" donc est-ce normal d'en avoir trouvé qu'une ? Et pour prouver que la conjecture est vraie je ne sais pas comment faire. Pouvez-vous m'aider ?

[chan79]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un dm, je n'ai pas compris grand chose. C'est un problème ouvert. Voici l'énoncé :
On se place dans un repère orthonormé.
On considère les fonctions f et g définies par f(x)=racine(x+a) et g(x)=racine(3-2x) où a est un réel fixé
quelconque.
Déterminer les valeurs de a pour lesquelles les courbes représentatives des fonctions f et g se
coupent en un point où les tangentes respectives sont perpendiculaires.
On commencera par conjecturer la réponse à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique comme
géogébra.

Donc j'ai fait la conjecture sur geogebra, et j'ai trouvé a= -0.8, cependant dans l'énoncé il est dit "déterminer LES valeurs de a" donc est-ce normal d'en avoir trouvé qu'une ? Et pour prouver que la conjecture est vraie je ne sais pas comment faire. Pouvez-vous m'aider ?

Bonjour
Calcule d'abord les coordonnées du point d'intersection (quand il existe)

[Siriuss]

Donc il me semble qu'il faut faire f(x)=g(x) ?
Cela donnerait donc : racine(x+a) = racine(3-2x)
x+a = 3-2x
x+2x = 3-a
3x = 3-a
x = (3-a)/3
x = 1-(a/3)
C'est bien ça ? Et après ?

[chan79]

Donc il me semble qu'il faut faire f(x)=g(x) ?
Cela donnerait donc : racine(x+a) = racine(3-2x)
x+a = 3-2x
x+2x = 3-a
3x = 3-a
x = (3-a)/3
x = 1-(a/3)
C'est bien ça ? Et après ?

oui
à noter que
3-2x doit être positif soit x=-a
il faut que a>=-3/2 pour que les courbes se coupent (tu as dû le voir avec geogebra)
ensuite tu calcules les dérivées pour avoir les pentes des tangentes au point d'intersection

[Siriuss]

Alors j'ai trouvé :
f'(x) = 1/2racine(x+a)
g'(x) = -2/2racine(3-2x) = -1/racine(3-2x)

[chan79]

Alors j'ai trouvé :
f'(x) = 1/2racine(x+a)
g'(x) = -2/2racine(3-2x) = -1/racine(3-2x)

tu écris que leur produit est égal à -1 (en remplaçant x par 1-(a/3) or par (3-a)/3)

[Siriuss]

J'essaie depuis tout à l'heure mais je me perds dans les calculs, pouvez-vous m'aider ?
Donc : 1/2racine((3-a)/a)) * -1/racine(3-2(3-a)/3)

[Siriuss]

Est-ce bien ce calcul que je dois faire et qui doit être égal à -1 ?

[chan79]

J'essaie depuis tout à l'heure mais je me perds dans les calculs, pouvez-vous m'aider ?
Donc : 1/2racine((3-a)/a)) * -1/racine(3-2(3-a)/3)

donc on pose x1=(3-a)/3
x1+a=(2a+3)/3
3-2x1=(2a+3)/3
f'(x1)=
g'(x1)=
le produit doit être égal à -1 pour la perpendicularité
tu dois aboutir à a=-3/4

[Siriuss]

D'accord, donc:
1/(2*(racine(2a+3)/3)* -1/ racine(2a+3)/3)
= -1 / 2* (2a+3)/3 = -1/(4a+6)/3 = -1 / (4a/3)+2
= -1 * (4a/3)+2 = -1
= (-4a/3)+2 = -1
(-4a/3) = 1
-4a = 3
a = -3/4

Donc là je dis que la conjecture était vraie, et voilà c'est tout ce qu'il y a à faire ?