Martingale et mouvement brownien

[muse]

Bonjour a tous,

J'ai un exercice et je n'y arrive pas. Je pense pas qu'il soit bien compliqué.

Soit B un mouvement brownien standard. Posons X_t = B_t-t.
La filfiltration T_t est celle engendrée par B.

Vérier que Mt = e^(2X_t) est une martingale.

Je doit donc demontrer que E(M_(t+1)-M_t | Ft)=0

A part remplacer Mt et Mt+1 je ne vois pas quoi faire apres...

Merci a tous

[bentaarito]

essaye d'utiliser la décomposition de Doob et la convexité de l'exponentielle

c'est quoi Ft?

[muse]

essaye d'utiliser la décomposition de Doob et la convexité de l'exponentielle

c'est quoi Ft?

On ne la pas vu je ne pense pas pouvoir l'utiliser en plus il me semble que c'est pour les surmartingale ?

Filtration and non pas filfiltration

[girdav]

On a . En prenant l'espérance conditionnelle suivant , on a, étant -mesurable, que .

Pour finir le calcul, utilise le fait que est indépendant de .

[bentaarito]

donc ?

[girdav]

donc ?

Je pense aussi (la première notation est, je crois, plus standard).

[muse]

On a . En prenant l'espérance conditionnelle suivant , on a, étant -mesurable, que .

Pour finir le calcul, utilise le fait que est indépendant de .

Il ne devrait pas avoir de s dans :
.

ainsi ce serait bien M_t.

Mais surtout pourquoi l'esperace de e^{2(B_{t+s}-B_t)}vaut 1 ?
B_{t+s}-B_t) suit une loi normale centrée d'esperance s

[muse]

Erreur ....

[DamX]

Il ne devrait pas avoir de s dans :
.

ainsi ce serait bien M_t.

Mais surtout pourquoi l'esperace de e^{2(B_{t+s}-B_t)}vaut 1 ?
B_{t+s}-B_t) suit une loi normale centrée d'esperance s

Hello,

Cette espérance ne vaut pas 1. C'est une erreur, elle vaut justement e^(2s), ce qui supprime le s de ton équation plus haut et tu as bien .

Rappel : Si

Par ailleurs, tu peux démontrer l'exercice en une ligne si tu as déjà vu la formule d'Ito :



Ce qui suffit à démontrer la martingalité (le processus est de drift nul).

Damien

[girdav]

Il ne devrait pas avoir de s dans :
.

ainsi ce serait bien M_t.

Mais surtout pourquoi l'esperace de e^{2(B_{t+s}-B_t)}vaut 1 ?
B_{t+s}-B_t) suit une loi normale centrée d'esperance s

Il y avait une typo dans mon premier message que j'ai corrigé (limportant est l'idée).

[muse]

Oui, j'ai refait les calculs. C'est claire merci a vous :)