Dérivation

[shakira]

Bonjour,
Voici le problème suivant que j'ai à résoudre :
Petit problème
L'histoire se passe en Casamance (Sénégal) en véhicule 4 x 4 tout-terrain Turbo-Diesel-Intercooler-V6-24 soupapes. Vous êtes en A et désirez vous rendre le plus vite possible au bord du lac en un point situé en B sur le plan.

http://serge.mehl.free.fr/exos/exos_gif/jeep_lac1.gif

Mais les conditions sont difficiles : sur la piste vous roulerez (en moyenne) à 60 km/h et, à travers champs et marécages, à 40 km/h.

On admet, pour simplifier, que vous ne vous retournez pas sur la piste (tôle ondulée) et que vous ne vous enlisez pas dans les marécages infestés de crocos malveillants...

A-t-on intérêt à passer par la piste en coupant "au plus court" à travers les marécages en sortant en C, ou bien à sortir de piste plus avant en un point M qu'il s'agit alors de déterminer ?

En d'autres termes : sur quelle distance a-t-on intérêt à suivre la piste ?

J'aurai aimé non pas faire une étude trigo mais plutôt algébrique ! Merci d'avance

On donne : AC = 100 km , BC = 40 km, ^ACB = p/2.

Voilà ce que j'ai déjà fait :
* J'appelle AM-MB la distance à parcourir avec M un point appartenant à [AC]
*J'appelle x la longueure MB (x<100)
* A l'aide de Pythagore dans CBM, j'exprime CM en fonction de x et CB soit :
MB² = CM² + CB²
X² - CB² = CM²
X² - 40² = CM²
X² - 1600 = CM²

* Ensuite je sais que AM = AC-CM soit
AM = 100-raci(x²-1600)
*J'exprime AM+MB d'après mes résultats précédents
AM+MB = x+100-raci(x²-1600)
* Je cherche ensuite le signe de cette quantité


Est ce que mon raisonnement est correct ? Pourriez vous m'aider à dériver cette fonction ?
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me lire.

[shakira]

Quelqu'un saurait ou pourrait vérifier mon résultat ?

[hammana]

Quelqu'un saurait ou pourrait vérifier mon résultat ?

Vous n'y êtes pas du tout.
Soit x la distance AM (il est plus normal de définir M par rapport à A plutôt que B).
Dans le triangle rectangle MCB vous calculez MB²=(100-x)²+40² (Pythagore).
La durée de votre parcours AMB est égale à:
la durée du parcours AM egale à x/60
plus la durée du parcours MB égale à MB/40=racine carrée((100-x)²+40²)/40
Il faut calculer x pour que la durée totale soit minimum.
Pour ce la calculez la dérivée de cette fonction et cherchez pour quelle valeur elle s'annule.

[shakira]

Vous n'y êtes pas du tout.
Soit x la distance AM (il est plus normal de définir M par rapport à A plutôt que B).
Dans le triangle rectangle MCB vous calculez MB²=(100-x)²+40² (Pythagore).
La durée de votre parcours AMB est égale à:
la durée du parcours AM egale à x/60
plus la durée du parcours MB égale à MB/40=racine carrée((100-x)²+40²)/40
Il faut calculer x pour que la durée totale soit minimum.
Pour ce la calculez la dérivée de cette fonction et cherchez pour quelle valeur elle s'annule.

Je me suis rendue compte que le début de mon explication était inutile cependant je n'arrive pas à dérivée cette fonction...
Peux tu m'aider ?

[hammana]

Je me suis rendue compte que le début de mon explication était inutile cependant je n'arrive pas à dérivée cette fonction...
Peux tu m'aider ?

Je vais essayer. La difficulté n'est pas de dériver cette fonction, mais de calculer la valeur de x pour laquelle elle s'annule. Il se peut qu'il soit plus facile de prendre comme inconnue l'angle CMB bien que vous n'aimiez pas beaucoup la trigonométrie. Il me faut quelque temps pour tirer cela au clair. J'espère que vous aurez une réponse avant demain midi.

[hammana]

Je vais essayer. La difficulté n'est pas de dériver cette fonction, mais de calculer la valeur de x pour laquelle elle s'annule. Il se peut qu'il soit plus facile de prendre comme inconnue l'angle CMB bien que vous n'aimiez pas beaucoup la trigonométrie. Il me faut quelque temps pour tirer cela au clair. J'espère que vous aurez une réponse avant demain midi.

Les calculs sont relativement faciles.
la durée totale du trajet se met sous la forme (2x+sqr((100-x)²+1600))/120. (j'utilise sqr au lieu de racine carée)
Laissez tomber le dénominateur 120, calculez la dérivée de cette fonction, (rappelez vous que la dérivée de sqr(u) est u'/2sqr(u)), vous trouverez que cette dérivée s'annule pour x=64.22 Km