Problème Terminal/Sup

par **shakira** » 17 Oct 2012, 16:59

Bonjour,
Voici le problème suivant que j'ai à résoudre (je l'ai posté dans le forum terminal mais notre professeur nous a affirmé qu'il pouvait être posé dans le supérieur, d'où ma requête) :help:

L'histoire se passe en Casamance (Sénégal) en véhicule 4 x 4 tout-terrain Turbo-Diesel-Intercooler-V6-24 soupapes. Vous êtes en A et désirez vous rendre le plus vite possible au bord du lac en un point situé en B sur le plan.

http://serge.mehl.free.fr/exos/exos_gif/jeep_lac1.gif

Mais les conditions sont difficiles : sur la piste vous roulerez (en moyenne) à 60 km/h et, à travers champs et marécages, à 40 km/h.

On admet, pour simplifier, que vous ne vous retournez pas sur la piste (tôle ondulée) et que vous ne vous enlisez pas dans les marécages infestés de crocos malveillants...

A-t-on intérêt à passer par la piste en coupant "au plus court" à travers les marécages en sortant en C, ou bien à sortir de piste plus avant en un point M qu'il s'agit alors de déterminer ?

En d'autres termes : sur quelle distance a-t-on intérêt à suivre la piste ?

J'aurai aimé non pas faire une étude trigo mais plutôt algébrique ! Merci d'avance

On donne : AC = 100 km , BC = 40 km, ^ACB = p/2.

Voilà ce que j'ai déjà fait :
* J'appelle AM-MB la distance à parcourir avec M un point appartenant à [AC]
*J'appelle x la longueure MB (x<100)
* A l'aide de Pythagore dans CBM, j'exprime CM en fonction de x et CB soit :
MB² = CM² + CB²
X² - CB² = CM²
X² - 40² = CM²
X² - 1600 = CM²

* Ensuite je sais que AM = AC-CM soit
AM = 100-raci(x²-1600)
*J'exprime AM+MB d'après mes résultats précédents
AM+MB = x+100-raci(x²-1600)
* Je cherche ensuite le signe de cette quantité

Est ce que mon raisonnement est correct ? Je n'arrive cependant pas à finir...
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me lire.

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:10

Il ne faut pas que tu considères la distance totale parcourue mais le temps mis pour la parcourir.

Ton idée de considérer un point M est bonne, avec ton x représentant BM (ou AM peu importe).
Mais tu dois exprimer en fonction de x le temps mis pour parcourir AM, puis le temps mis pour parcourir BM (et donc en faisant intervenir les vitesses respectives sur chaque tronçon). Et quand tu as le temps total en fonction de x, tu minimises cette fonction en x pour trouver le point optimal.

Damien

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:26

Quant à l'aspect "supérieur" de cet exercice, il y a en effet une version un peu plus sophistiquée mais sur le meme principe qui est un exercice assez classique en physique de sup.

Si ça t'intéresse :

Meme chose tu veux aller d'un point A à un point B, la différence est que tu n'est pas sur une route, tu es sur un terre plein bitumeux, sur lequel tu te déplaces à v1 (=60km/h par ex), et B se situe dans les marécages dans lesquels tu roules à v2 (=40 km/h).
Le terre plein et les marécages sont séparées par une frontière bien droite. Petit schéma spartiate plus bas pour comprendre.

Tu te déplaces en lignes droite dans chaque domaine , tu peux juste changer de direction au moment ou tu changes de domaine. En gros si tu places un point M sur la frontière, ton trajet sera AM - MB.

Question : trouver la position du M qui fait arriver le plus vite et surtout trouver une relation entre l'angle AMF et l'angle BMG

A

F-------M--------G

B

Bonne chance

Ce n'est pas beaucoup plus dur. Et si tu y arrives, tu auras démontrer la loi de Snell-Descartes sur la réfraction de la lumière que tu as du voir en physique en partant du principe de Fermat qui dit que comme nous tous (enfin comme moi en tout cas :p), la lumière est une grande feignante et emprunte le chemin le plus rapide !

par **shakira** » 17 Oct 2012, 17:27

DamX a écrit:Il ne faut pas que tu considères la distance totale parcourue mais le temps mis pour la parcourir.

Ton idée de considérer un point M est bonne, avec ton x représentant BM (ou AM peu importe).
Mais tu dois exprimer en fonction de x le temps mis pour parcourir AM, puis le temps mis pour parcourir BM (et donc en faisant intervenir les vitesses respectives sur chaque tronçon). Et quand tu as le temps total en fonction de x, tu minimises cette fonction en x pour trouver le point optimal.

Damien

Je comprends le principe qui m'avait échappé lors de la résolution mais comment trouver la fonction correspondante ? Cela signifie que mon AM+BM = x + 100 - racine(x²-1600) est incomplet ? Ou faux ?

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:31

shakira a écrit:Je comprends le principe qui m'avait échappé lors de la résolution mais comment trouver la fonction correspondante ? Cela signifie que mon AM+BM = x + 100 - racine(x²-1600) est incomplet ? Ou faux ?

Ce qui t'intéresse c'est le temps total du trajet, donc ce n'est pas AM+BM mais AM/v_route + BM/v_marais

par **shakira** » 17 Oct 2012, 17:34

DamX a écrit:Ce qui t'intéresse c'est le temps total du trajet, donc ce n'est pas AM+BM mais AM/v_route + BM/v_marais

Donc
[100-racine(x²-1600)/60] + [x/40] ?

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:38

shakira a écrit:Donc
[100-racine(x²-1600)/60] + [x/40] ?

Le "divisé par 60" est mal placé, fais attention à tes parenthèses, mais sinon oui c'est ca.

par **shakira** » 17 Oct 2012, 17:41

DamX a écrit:Le "divisé par 60" est mal placé, fais attention à tes parenthèses, mais sinon oui c'est ca.

Il va sur tout AM

Ensuite je réduit au même dénominateur et j'arriverai à la fonction que je dois dériver pour obtenir un minimum ?

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:43

shakira a écrit:Il va sur tout AM Ensuite je réduit au même dénominateur et j'arriverai à la fonction que je dois dériver pour obtenir un minimum ?

Pas besoin de réduire au meme dénominateur (sauf si tu trouves ça plus joli..

) tu as ta fonction, tu n'as plus qu'à dériver et trouver en quel point la dérivée s'annule.

par **shakira** » 17 Oct 2012, 17:47

DamX a écrit:Pas besoin de réduire au meme dénominateur (sauf si tu trouves ça plus joli.. ) tu as ta fonction, tu n'as plus qu'à dériver et trouver en quel point la dérivée s'annule.

Peux tu quand même m'aider à vérifier la fin du problème ? Car je trouve comme dérivée 1/40 ! :mur:
Il doit y avoir un soucis ...

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:49

shakira a écrit:Peux tu quand même m'aider à vérifier la fin du problème ? Car je trouve comme dérivée 1/40 ! :mur:
Il doit y avoir un soucis ...

Tu as deux termes dans ta fonction, le x/40 donne bien 1/40 mais tu as le terme avec la racine à dériver aussi !

par **chan79** » 17 Oct 2012, 17:50

shakira a écrit:Donc
?

il manque une parenthèse
[(100-racine(x²-1600))/60] + [x/40]

par **shakira** » 17 Oct 2012, 17:52

Ah oui, je suis une nulle ...
Donc f'(x) = (1/2rac(x²-1600))/600 + 1/40
Est ce bien cela ? :$

par **DamX** » 17 Oct 2012, 17:56

shakira a écrit:Ah oui, je suis une nulle ...
Donc f'(x) = (1/2rac(x²-1600))/600 + 1/40
Est ce bien cela ? :$

n'oublie pas que la dérivée de rac(f(x)) vaut f '(x)/(2rac(f(x)) !

par **shakira** » 17 Oct 2012, 18:00

Impossible ... Je me perds dans les racines ... --'

par **DamX** » 17 Oct 2012, 18:04

shakira a écrit:Impossible ... Je me perds dans les racines ... --'

ça fait du coup f'(x) = -(2x/2rac(x²-1600))/60 + 1/40

je te laisse finir le calcul

Damien

par **shakira** » 17 Oct 2012, 18:12

Merci Damien pour ton aide ... Maintenant que j'ai la dérivée, je dois étudier son signe et trouver son minimum ? Je suis censé trouvé comme résultat (64km sur route pour direction champs et un temps de trajet = 2.41h soit 2h25 min)

par **chan79** » 17 Oct 2012, 19:42

shakira a écrit:Merci Damien pour ton aide ... Maintenant que j'ai la dérivée, je dois étudier son signe et trouver son minimum ? Je suis censé trouvé comme résultat (64km sur route pour direction champs et un temps de trajet = 2.41h soit 2h25 min)

tu dois trouver x²=2880

par **shakira** » 17 Oct 2012, 19:47

Je n'arrive plus à partir de la dérivée ...

par **shakira** » 17 Oct 2012, 19:54

Je n'arrive pas à trouver le point minimum d'après mes résultats précédents et la dérivée.

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