Varations sur la défintion de la limite

[besten]

Bonsoir,

Dans le cours, on a des contre-exemples sur les suites, et on nous demande de les démontrer. J'aimerais avoir votre avis pour démarrer.

1-On suppose que la suite converge vers une limite .
Démontrer que tous les termes de cette suite, sauf un nombre fini d'entre eux, sont strictement supérieurs à 2.

2- Démontrer qu'une suite croissante et non convergente tend vers l'infini.

Si vous trouvez, vous êtes très fort !

[Sylviel]

C'est plutôt simple :
1) quel est la définition de lim u_n = V2 ? Si tu prends epsilon = ... alors tu auras que tout les termes plus grands que ... sont plus petit que 2. Conclusion ?

2) Prends une suite croissante, suppose qu'elle ne tende pas vers +oo alors elle est ... conclusion ?

[Nightmare]

Salut,

qu'as-tu toi même essayé de faire?

[besten]

C'est plutôt simple

pour toi oui, mais pour moi non... lol

Je vais avoir besoin d'un peu plus d'explication stp...

[Deliantha]

1. La traduction en un langage symbolique de la définition intuitive de ce qu'est une limite est la suivante :
et ou ou : .
Dans une mise en situation, c'est la grandeur vers laquelle les éléments s'approchent au-delà d'un rang.

2. Comme la suite ne converge pas, elle n'est pas majorée; donc pour tout réel positif fixé, il existe un rang à partir duquel tous les termes émis lui deviennent supérieurs. Ainsi, la suite concernée tend vers .

[besten]

1. La traduction en un langage symbolique de la définition intuitive de ce qu'est une limite est la suivante :
et ou ou : .
Dans une mise en situation, c'est la grandeur vers laquelle les éléments s'approchent au-delà d'un rang.

Comment on montre exactement que seul un nombre fini d'entre eux est inférieur à 2 (donc que tous sauf un sont strictement supérieurs à 2) ?
On donne des définitions mais on démontre ça comment.

2. Comme la suite ne converge pas, elle n'est pas majorée; donc pour tout réel positif fixé, il existe un rang à partir duquel tous les termes émis lui deviennent supérieurs. Ainsi, la suite concernée tend vers .

Comment on montre ça mathématiquement ?

(Désolé, je suis vraiment nul)

[nuage]

Salut besten

2. Comme la suite ne converge pas, elle n'est pas majorée; donc pour tout réel positif fixé, il existe un rang à partir duquel tous les termes émis lui deviennent supérieurs. Ainsi, la suite concernée tend vers .

Ça c'est grossièrement faux. On peut prendre comme contre exemple.

L'idée est celle de Sylviel . Si la suite a une limite strictement supérieure à 2, disons 2+h alors , à partir d'un certain rang tous les termes sont à une distance inférieure à h de 2. Il n'y en a donc qu'un nombre fini, éventuellement nul, qui sont inférieurs à 2.

[Sylviel]

Donner la définition de lim un = 2 est à la portée de quiconque ouvre son cours. Ensuite j'ai essayé de te donner des indications, essaie de réfléchir, de faire un dessin, de suivre les idées de nuage, etc...

[Alannaria]

Ça c'est grossièrement faux. On peut prendre comme contre exemple.

L'idée est celle de Sylviel . Si la suite a une limite strictement supérieure à 2, disons 2+h alors , à partir d'un certain rang tous les termes sont à une distance inférieure à h de 2. Il n'y en a donc qu'un nombre fini, éventuellement nul, qui sont inférieurs à 2.

@Nuage:
tu as mal compris les propos précédents où l'interlocutrice s'est exprimée de même à la va-vite par manque de disponibilité. Il s'agit bien de son idée à elle aussi. Ce qui est signifié n'est pas que la limite de la suite est l'infini mais que sur le nombre total de termes de la suite pouvant être élevé à une quantité infinie, la quasi-totalité des termes est retrouvée au-delà d'un seuil proche de la limite considérée pour cette suite (le schéma que l'on conseille le montre en cinq secondes s'il est bien conçu...)

[Yann64]

Bonsoir,

Dans le cours, on a des contre-exemples sur les suites, et on nous demande de les démontrer. J'aimerais avoir votre avis pour démarrer.

1-On suppose que la suite converge vers une limite .
Démontrer que tous les termes de cette suite, sauf un nombre fini d'entre eux, sont strictement supérieurs à 2.

2- Démontrer qu'une suite croissante et non convergente tend vers l'infini.

Si vous trouvez, vous êtes très fort !

Pour le 1, prendre
On sait que la suite est croissante.
Pour tout n, u_{n+1} >= u_n
Supposons que soit majorée.
Alors elle admet une borne supéreure qui sera la limite de u quand n tend vers l'infini car u est croissante. Or, c'est absurde car u ne converge pas, donc l'ensemble précédent n'est pas majoré,
et pour tout M > 0 il existe n entier naturel te que u_n >= M , d'autre part, comme u_n est croissante, pour tout p >= n
u_p >= u_n >= M et
pour tout M>0 il existe n entier naturel tel que pour tout p >=n u_p >= M
en d'autres termes
u_n tend vers +l'infini.

[besten]

Pour le 1, prendre [tex]\varepsilon = l-2 \, \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N |u_n-l| =N
sauf pour {u_0,u_1,...,u_{N-1}} qui sont en nombre fini.

Excuse moi, mais je ne vois pas comment cela montre que tous les termes de la suite, sauf un nombre fini d'entre eux, sont strictement supérieurs à 2.
Ou alors, c'est pour n=n que le terme de la suite est inférieur (ou égal ?) à 2 ?
Cette partie-là, je ne la saisis pas bien.

Pour le 2, j'ai compris le raisonnement. Je te remercie. Le problème 2 est plus simple à comprendre je trouve que le 1 parce que je n'arrive pas à imaginer, je ne vois pas comment c'est possible, que tous les termes d'une suite, sauf un nombre fini d'entre eux, soient strictement supérieurs à 2...

[Sylviel]

La définition de la limite d'une suite te dis que si tu traces une droite y=l (où l est la limite),
et deux droites y= l +e et y = l -e, avec e aussi petit que tu veux (cela te fait donc une droite horizontale, et un tube autour de la droite) alors au bout d'un moment (il existe N tel que pour tout n>N) tous les termes de la suite sont dans ce tube. Fais un dessin pour comprendre.

Ici l > 2. Trace maintenant la droite y=2, les termes supérieurs à 2 sont ceux qui sont au-dessus de cette droite. Si ton tube est au dessus de ta droite les termes qui sont dedans (donc tous ceux plus grand que N) sont au dessus de 2. (Encore une fois je te recommande le dessin pour comprendre). Et il n'y a qu'un nombre fini de termes avant N...