Equation

par **dilzydils** » 17 Juil 2006, 15:57

bonjour

soit l'equation (E) d'inconnue x: 1+x+x^2/2!+...+x^n/n!-a*exp(x)=0 où 0Je dois montrer l'existence et l'unicité de la solution à (E) dans R+.
L'existence, c ok avec le TVI, en introduisatnt fn(x)=1+x+x^2+...+x^n-a*exp(x)
Quant à l'unicité, je vois pas trop...

par **Nightmare** » 17 Juil 2006, 16:12

Bonjour

Pour l'unicité, trace le tableau de variation de ta fonction fn et montre qu'elle croise l'axe des abscisse une seule fois.

par **nox** » 17 Juil 2006, 16:20

pas évident ca... :triste:

vu la tronche de la fonction ^^

j'ai pas essayé mais ca a pas l'air d'être immédiat

par **Nightmare** » 17 Juil 2006, 16:23

Nox : Ca paraitrait plus simple si on écrivait que 1+x+x²+...+x^n=(x^n-1)/(x-1) non ? :lol3:

:happy3:

par **nox** » 17 Juil 2006, 16:27

ca donne la dérivée

je crois...

c'est immédiat pour l'étude du signe? :hein:

par **nekros** » 17 Juil 2006, 16:33

Nightmare a écrit:Nox : Ca paraitrait plus simple si on écrivait que 1+x+x²+...+x^n=(x^n-1)/(x-1) non ? :lol3:

:happy3:

Ca ne serait pas plutôt

?

Thomas G :zen:

par **nox** » 17 Juil 2006, 16:37

exact nekros ^^

bon donc la dérivée devient :

si je ne m'abuse...

encore une fois pour l'étude du signe je sais pas si c'est flagrant... :hein:

par **nekros** » 17 Juil 2006, 16:43

Et si on procédait par l'absurde ?

On suppose qu'il existe deux racines

et

tels que

et

Et ainsi, on doit aboutir à une contradiction ce qui prouvera l'unicité de la solution.

Thomas G :zen:

par **nox** » 17 Juil 2006, 16:44

On aboutira plus facilement à r1 = r2 je pense... :p

par **Nightmare** » 17 Juil 2006, 16:45

Maintenant reste à la prouver cette égalité ...

par **nekros** » 17 Juil 2006, 16:47

nox a écrit:On aboutira plus facilement à r1 = r2 je pense... :p

Oui forcément, je me suis mal exprimé mais c'est ce qu'il faut montrer, d'ailleurs j'essaye de suite...

Thomas G :zen:

par **dilzydils** » 17 Juil 2006, 16:54

:marteau:
j'ai fait une erreur de post, desolé :triste:
c'est: 1+x+x^2/2!+...+x^n/n!-a*exp(x)=0 l'equation... et il faut montrer l'existence et l'unicité dans R+. :mur:

par **Nightmare** » 17 Juil 2006, 16:55

1+x+x^2/2!+...+x^n/n! ça ne te rappelle pas quelque chose ? :lol2:

par **nox** » 17 Juil 2006, 16:56

ca change tout :D

par **nekros** » 17 Juil 2006, 16:57

Carrément... :doh:

On a donc

Et il est facile de montrer l'unicité de la racine...

Thomas G :zen:

par **nox** » 17 Juil 2006, 16:58

ceci dit l'énoncé avec l'erreur de post c'est un petit challenge ^^

par **nekros** » 17 Juil 2006, 17:00

nox a écrit:ceci dit l'énoncé avec l'erreur de post c'est un petit challenge ^^

Bon courage :lol2:

par **Nightmare** » 17 Juil 2006, 17:01

Attention quand même Nekros, on a un équivalent avec l'exponentielle, pas une égalité.

par **nox** » 17 Juil 2006, 17:03

nekros a écrit:Bon courage :lol2:

meme pas peur :zen:

par **Nightmare** » 17 Juil 2006, 17:06

Je te la laisse Nox :lol:

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