Canonique pas clair

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

Soit (e1,e2) la base canonique avec e1 = (1,0) et e2 = (0,1) . On a aussi €1 = 2.e1 + 3.e2 et €2 = 1.e1 + 7.e2 d'où la nouvelle base (€1,€2).

Pourquoi (e1,e2) serait la base canonique et pas (€1,€2) ? Ben c'est vrai quoi, on a bien €1 qui est donné par (1,0) dans la base (€1,€2) ....

Vous allez peut-être me répondre : ben c'est toi même qui a dit que c'était (e1,e2) la base canonique.

Tout est relatif OK mais y'a bien un moment où on a fixé arbitrairement des vecteurs fixes, orthonormaux et invariants par changement de base : c'est ces vecteurs qui pour moi, forment la base canonique. Cela dit ... j'aimerais bien avoir vos avis.

[wserdx]

Quand tu écris e1=(1,0) et e2=(0,1), ça veut dire quoi pour toi ?

[Cryptocatron-11]

ben e1 = (1,0) = 1.e1 + 0.e2 . Sinon ben j'aurais aussi pu le représenter sous forme de vecteur colonne relativement à la base (e1,e2)

[arnaud32]

ben e1 = (1,0) = 1.e1 + 0.e2 . Sinon ben j'aurais aussi pu le représenter sous forme de vecteur colonne relativement à la base (e1,e2)

quand tu ecis e1=(1,0) tu as deja choisi une base d'ecriture

[Cryptocatron-11]

Et cette base d'écriture s'appelle la base canonique ?

[arnaud32]

Et cette base d'écriture s'appelle la base canonique ?

oui c'est ca.

[Skullkid]

Bonsoir, R² c'est l'ensemble des couples de réels, c'est-à-dire l'ensemble des objets de la forme (x,y) avec x et y réels. Note bien que je n'ai pas encore parlé de base, ni même de structure quelconque, juste de la nature des éléments de R².

Maintenant, on considère R² en tant que R-ev et on veut choisir une base pour travailler dessus. La base formée du couple (1,0), noté e1, et du couple (0,1), noté e2, est décrétée la plus naturelle (d'où son nom de "canonique") puisque dans cette base, le couple (x,y) s'écrit xe1+ye2. Autrement c'est la base qui est jugée la plus compatible avec la nature des éléments de R².

[Cryptocatron-11]

R² c'est l'ensemble des couples de réels, c'est-à-dire l'ensemble des objets de la forme (x,y) avec x et y réels. Note bien que je n'ai pas encore parlé de base, ni même de structure quelconque, juste de la nature des éléments de R².

D'accord et justement, avant de voir R² comme un R-ev , j'ai cru comprendre qu'on pouvait le voir comme un espace affine si je ne m'abuse. Ce que je dis a rapport avec ce lien (où tu es intervenu) .

Les éléments sont de la forme (x,y) mais x et y ne pourront être déterminés qu'au moment où l'on aura pris un point quelconque O de R² comme origine ?

[Cryptocatron-11]

Ces couples de la forme (x,y) dont tu parles au début (i.e avant de parler de base, de structure quelconque...) , ça représente bien des points et non pas des vecteurs, n'est-ce pas ?

[Skullkid]

Le fait que (2,2) est un élément de R² n'a rien à voir avec la structure de R² en tant qu'espace vectoriel, espace affine, groupe ou que sais-je. (2,2) c'est un couple de réels, R² c'est l'ensemble des couples de réels, donc (2,2) est un élément de R². Il n'est pas question ici d'origine, de base, de points ou de vecteurs. R² est une collection d'objets, (2,2) est l'un de ces objets.

Si après tu mets une structure sur R², (2,2) ce sera toujours (2,2), le couple dont le premier élément est 2 et dont le deuxième élément est 2, indépendamment de la structure que tu mets sur R². Je pense que tu interprètes d'office un couple de réels comme étant des coordonnées dans une base, mais ce n'est pas le cas. Un couple de réels c'est un couple de réels, ça n'a pas besoin d'un repère pour se définir. Les deux couples (4,3) et (1,7) sont différents, ce sont deux éléments distincts de R². En mettant une structure d'espace vectoriel (resp. affine) sur R² tu peux trouver une base (resp. un repère) dans laquelle les coordonnées de (2,2) sont (1,7) et une autre base (resp. un autre repère) dans laquelle les coordonnées de (2,2) sont (4,3), ce n'est pas pour ça que (2,2) est mal défini ou que "2 et 2 sont indéterminés".

Sinon c'est un peu bizarre de mettre une structure d'espace affine sur R² "avant" de lui mettre une structure d'espace vectoriel, puisque la définition d'un espace affine nécessite d'avoir un espace vectoriel sous la main pour servir de direction (et la direction de l'espace affine R² dont on a l'habitude c'est... l'espace vectoriel R²).

Dans le topic que tu cites le contexte est différent, il s'agit d'expliquer ce qu'est un vecteur à un élève de lycée, donc en se basant sur les acquis de l'élève en question (du genre "je comprends ce qu'est un point", bien que le concept de point ne lui a probablement jamais été défini de façon mathématique) et en excluant toute définition du genre "un vecteur est un élément d'un espace vectoriel".

[Cryptocatron-11]

Je pense que tu interprètes d'office un couple de réels comme étant des coordonnées dans une base

Ouais c'est bien ça, j'avais du mal à voir R² comme un ensemble sans structure (à force de toujours le considérer en tant qu'ev ...). Mais c'est pas évident

En mettant une structure d'espace vectoriel (resp. affine) sur R² tu peux trouver une base (resp. un repère)

Je pensais qu'à partir du moment où l'on munissait un espace affine d'un repère alors ça devenait un espace vectoriel. :hein:
J'ai du mal lire

[Skullkid]

e pensais qu'à partir du moment où l'on munissait un espace affine d'un repère alors ça devenait un espace vectoriel. :hein:
J'ai du mal lire

Un espace vectoriel et un espace affine c'est deux structures différentes (même si très liées) :

Un espace vectoriel c'est un ensemble dans lequel tu peux faire la somme de deux éléments et le produit d'un scalaire par un élément. Les scalaires vivent dans un ensemble à part qui s'appelle le corps de base de l'espace vectoriel en question.

Dans un espace affine tu ne peux pas ajouter deux éléments ni multiplier un élément par un scalaire. Ce que tu peux faire c'est translater un point par un vecteur et associer un vecteur à chaque bipoint. Les vecteurs vivent dans un ensemble à part qui s'appelle la direction de l'espace affine en question.

Quand tu munis un espace affine d'un repère, tu choisis un point privilégié de ton espace affine, donc tu peux établir une correspondance entre ton espace affine et sa direction (dans un espace vectoriel, le vecteur nul est naturellement privilégié puisqu'il est le neutre de la loi interne de cet espace). Donc choisir un repère affine c'est en quelque sorte se donner les moyens de faire tous les calculs dans l'espace vectoriel associé, mais ce n'est pas transformer l'espace affine en espace vectoriel.

[Cryptocatron-11]

Quand tu munis un espace affine d'un repère, tu choisis un point privilégié de ton espace affine, donc tu peux établir une correspondance entre ton espace affine et sa direction (dans un espace vectoriel, le vecteur nul est naturellement privilégié puisqu'il est le neutre de la loi interne de cet espace). Donc choisir un repère affine c'est en quelque sorte se donner les moyens de faire tous les calculs dans l'espace vectoriel associé, mais ce n'est pas transformer l'espace affine en espace vectoriel.

Donc je privilégie un point A dans l'espace affine. Ensuite, j'identifie ce point A au vecteur nul ?

[Skullkid]

Oui, le choix du point A te donne une correspondance point-vecteur (parmi l'infinité de correspondances possibles) que tu peux utiliser dans tes calculs à la place de la correspondance bipoint-vecteur (qui est unique pour un espace affine donné).

[Cryptocatron-11]

Dans un espace affine tu ne peux pas ajouter deux éléments

Je peux les soustraire ? (je sens que je vais me faire frapper :euh: ) . Je crois avoir déjà lu . Je pense que c'est correcte après avoir fait l'identification dont on parlait

[Skullkid]

On utilise en effet souvent la notation B-A pour désigner l'image du bipoint (A,B) par la correspondance bipoint-vecteur liée à l'espace affine. Mais cette correspondance n'est pas une loi interne, donc le terme "soustraction" n'est pas très heureux. On utilise aussi la notation A+u pour désigner l'image du point A par la translation de vecteur u, mais une fois encore ce n'est pas une loi interne donc il vaut mieux éviter de parler "d'addition".

[Cryptocatron-11]

Donc cette opération " - " ( agisant sur le bipoint (A,B) pour donner B - A ) n'est pas une loi interne , mais qu'est-ce donc ?

Edit : pour A+u, j'ai entendu parler de loi externe par contre.

[Skullkid]

Ce sont des fonctions. Si E est ton espace affine et V sa direction, le truc qu'on note avec le signe plus c'est une fonction de E*V dans E (on peut appeler ça une loi externe si on veut) et le truc qu'on note avec le signe moins c'est une fonction de E² dans V (là on ne peut pas appeler ça une loi externe mais on n'en dort pas plus mal la nuit).

Si on les note + et - c'est parce qu'avec la géométrie dans le plan ou l'espace dont on a l'habitude, les coordonnées du vecteur AB c'est les coordonnées de B moins les coordonnées de A et les coordonnées du translaté du point A par le vecteur u c'est les coordonnées de A plus les coordonnées de u.