Homéomorphisme entre le cercle moins un point et le R

[Matematico]

Bonjour

Je voudrais savoir comment prouver que cette fonction est un homéomorphisme:

f:(0,1)-->cercle moins le point (0,1)
t--->(cos(2pi)t,sin(2pi)t)

Cette fonction est continue parce que les fonctions sinus et cosinus sont continues.
La partie la plus difficile est de montrer que f est une fonction ouverte
Quelqu'un peut m'aider?
Merci

[cuati]

Bonjour,
c'est quoi (0,1) ? [0,1[ ?
Tu peux peut-être chercher la fonction réciproque et montrer qu'elle est continue...

[Matematico]

Bonjour,
c'est quoi (0,1) ? [0,1[ ?
Tu peux peut-être chercher la fonction réciproque et montrer qu'elle est continue...

Le premier (0,1) est l'intervalle ouvert ]0,1[ et le deuxième est le couple (paire ordonnée): (0,1)

oui, j'ai essayé cela, j'ai trouvé très difficile.

[cuati]

Le premier (0,1) est l'intervalle ouvert ]0,1[ et le deuxième est le couple (paire ordonnée): (0,1)

oui, j'ai essayé cela, j'ai trouvé très difficile.

J'imagine qu'il s'agit donc du cercle privé du point de coordonnée (1;0)...
Suppose f(t)=(a,b); Tu connais aussi les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques (attention aux intervalles de définitions...)

[barbu23]

J'imagine qu'il s'agit donc du cercle privé du point de coordonnée (1;0)...
Suppose f(t)=(a,b); Tu connais aussi les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques (attention aux intervalles de définitions...)

Peut - être qu'il faut identifier à , non ? comme ça, on passe à l'exponentielle pour trouver l'inverse de , non ?

[arnaud32]

Peut - être qu'il faut identifier à , non ? comme ça, on passe à l'exponentielle pour trouver l'inverse de , non ?

tu prends (u,v) sur ton cercle prive d'un point et tu distingues le cas v>0 de v<0 dasn la definition de ta fonction
et u verifie qu'elle est continue sur chaque domaine t a la liaison

[barbu23]

tu prends (u,v) sur ton cercle prive d'un point et tu distingues le cas v>0 de v<0 dasn la definition de ta fonction
et u verifie qu'elle est continue sur chaque domaine t a la liaison

Oui, mais le problème, c'est de trouver l'inverse de , et c'est ça ce que je ne comprends pas.

[arnaud32]

tu connais arccos? arcsin?

[Yann64]

Bonjour

Je voudrais savoir comment prouver que cette fonction est un homéomorphisme:

f:(0,1)-->cercle moins le point (0,1)
t--->(cos(2pi)t,sin(2pi)t)

Cette fonction est continue parce que les fonctions sinus et cosinus sont continues.
La partie la plus difficile est de montrer que f est une fonction ouverte
Quelqu'un peut m'aider?
Merci

Comme f est continue, l'image de tout ouvert par f est un ouvert.

[DamX]

Oui, mais le problème, c'est de trouver l'inverse de , et c'est ça ce que je ne comprends pas.

Comment récupérer l'angle (entre 0 et 2Pi) entre les vecteurs (0,1) et (x,y) ?

Sinon sans passer par de la trigo, on peut court-circuiter l'opération en se plaçant en coordonnées polaires dans l'espace d'arrivée :
Cercle\(0,1) = { (1,theta) | theta dans ]0,2Pi[ }
Et bon maintenant la fonction réciproque "f^-1(r,theta) = " est assez facile à trouver et à montrer quelle est continue

J'avoue c'est tricher mais ça marche :p

Autrement, (et là je n'ai pas été au bout du raisonnement donc je peux me tromper) mais j'ai l'impression qu'il n'est pas trop dur de montrer que la réciproque d'une fonction bijective continue définie sur un ouvert (ouvert est le détail important) est continue, et du coup ça fait tomber direct le résultat ici sans avoir à se préoccuper de la tête de la réciproque. Reste à savoir si on préfère jouer avec les epsilon ou les arctan...

Damien

[Nightmare]

Hello,

on peut aussi revenir à l'idée de l'auteur à savoir montrer que l'application est ouverte. C'est pas trop difficile de voir ce qu'est l'image par f d'un intervalle [a,b[ avec 0 <= a < b < 1

[barbu23]

Hello,

on peut aussi revenir à l'idée de l'auteur à savoir montrer que l'application est ouverte. C'est pas trop difficile de voir ce qu'est l'image par f d'un intervalle [a,b[ avec 0 <= a < b < 1

Merci à tous pour vos réponses. :happy3:
Pour montrer que est ouvert, on montre que et sont ouvertes ? ce qui est le cas, puisque et sont des homéomorphismes de dans ? non ?

[Yann64]

Bonjour

Je voudrais savoir comment prouver que cette fonction est un homéomorphisme:

f:(0,1)-->cercle moins le point (0,1)
t--->(cos(2pi)t,sin(2pi)t)

Cette fonction est continue parce que les fonctions sinus et cosinus sont continues.
La partie la plus difficile est de montrer que f est une fonction ouverte
Quelqu'un peut m'aider?
Merci

Comme dit cuati, cherche la fonction réciproque, et montre qu'elle est continue.
Ensuite, montrer que f est ouverte, découlera du fait que f^-1 est continue.
N'oublie pas que la fonction que tu as peut être vue comme une composée de fonctions, cela peut peut être t'aider.

C'est un exercice difficile.