Problème tangente à 2 cercles

[simmath]

Bonjour,
J'ai un numéro qui me pose problème et j'ai besoin d'aide pour le résoudre afin de le remettre cette semaine.

Voici mon problème :

Considérez la figure déterminée par les courbes x²+y²=16 et (x-7)²+y²=9
et toutes les droites qui sont tangentes à ces deux courbes.
Trouvez tous les points de tangence et donnez les équations de ces droites.
Donnez les valeurs exactes dans vos solutions.

J'ai passer quelques heures à essayer de comprendre comment résoudre le problème mais sans résultats.
Je crois qu'il est nécessaire d'utiliser les dérivées implicites.

Merci de me filer un coup de main.

[chan79]

Bonjour,
J'ai un numéro qui me pose problème et j'ai besoin d'aide pour le résoudre afin de le remettre cette semaine.

Voici mon problème :

Considérez la figure déterminée par les courbes x²+y²=16 et (x-7)²+y²=9
et toutes les droites qui sont tangentes à ces deux courbes.
Trouvez tous les points de tangence et donnez les équations de ces droites.
Donnez les valeurs exactes dans vos solutions.

J'ai passer quelques heures à essayer de comprendre comment résoudre le problème mais sans résultats.
Je crois qu'il est nécessaire d'utiliser les dérivées implicites.

Merci de me filer un coup de main.

Bonjour
Je suppose que tu vois une tangente évidente sur la figure ?

[simmath]

Bonjour
Je suppose que tu vois une tangente évidente sur la figure ?

Exactement en X=4 et Y=0 !

[chan79]

Exactement en X=4 et Y=0 !

Quelle en est l'équation ?

[simmath]

Quelle en est l'équation ?

Je crois que c'est comme lorsqu'on parle d'asymptote donc l'équation serait x=4

[simmath]

Je crois que c'est comme lorsqu'on parle d'asymptote donc l'équation serait x=4

Je sais qu'il y en a une qui passe par le dessus des 2 cercles mais je suis incapable de faire égaler les 2 équations pour arriver à quelque chose de concret ?!

[chan79]

Je sais qu'il y en a une qui passe par le dessus des 2 cercles mais je suis incapable de faire égaler les 2 équations pour arriver à quelque chose de concret ?!

c'est bien x=4
Pour les autres, tu pourrais partir d'une tangente à l'un des cercles et voir à quelle condition elle coupe l'autre en un point unique

[simmath]

c'est bien x=4
Pour les autres, tu pourrais partir d'une tangente à l'un des cercles et voir à quelle condition elle coupe l'autre en un point unique

Tu veut dire que si je prend ma premiere équation, que je la dérive et que j'entre un point connu à l'intérieur je pourrai ensuite prendre cette pente et la mettre en égalité dans ma deuxieme equation ?

[chan79]

Tu veut dire que si je prend ma premiere équation, que je la dérive et que j'entre un point connu à l'intérieur je pourrai ensuite prendre cette pente et la mettre en égalité dans ma deuxieme equation ?

non, établis d'abord en fonction de l'équation de la tangente en M au cercle de rayon 4
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img833/156/92788317.png[/img][/IMG]

[simmath]

non, établis d'abord en fonction de l'équation de la tangente en M au cercle de rayon 4
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img833/156/92788317.png[/img][/IMG]

L'équation de la tangente du cercle de rayon 4 serait -x/y et celle du cercle de rayon 3 -(x-7)/y

[chan79]

L'équation de la tangente du cercle de rayon 4 serait -x/y et celle du cercle de rayon 3 -(x-7)/y

la tangente au grand cercle en M a comme équation x cos + y sin -4=0
Elle est tangente à l'autre cercle si elle est à la distance 3 de (7,0)
Ca te donne à résoudre
|7 cos -4|=3

[simmath]

Je ne comprend vraiment rien à rien merci quand même pour l'aide je vais aller voir mon professeur en début de semaine je suis complètement déboussolé dans ce numero

[chan79]

Je ne comprend vraiment rien à rien merci quand même pour l'aide je vais aller voir mon professeur en début de semaine je suis complètement déboussolé dans ce numero

L'équation de la tangente: x cos + y sin -4=0 ne doit pas te poser de problème. On a le vecteur normal: (cos , sin )
Par ailleurs, quand tu as une équation de droite ux+vy+w=0
La distance d'un point A(a,b) à cette droite est .
La distance de (7,0), le centre du petit cercle, à cette droite doit être égal au rayon 3.
soit

soit

cela donne

qui correspond à la tangente d'équation x=4

ou bien


soit



Equations des tangentes
x=4

[brelen]

chan79, le probleme avec ta reponse (meme si elle est bonne) c'est que le cours que simmath suis est le premier cour de calcul differentiel et integral, alors nous ne savons pas utiliser les vecteurs dans ce genre de situation (je suis dans le meme cour que lui je pense, j'ai le meme numero a faire). Mais le probleme, c'est qu'il est supposer y avoir deux autres tangente, une au dessus des cercles et une en dessous.

[Dlzlogic]

Bonjour Chan,
Je vais faire un petit hors sujet.
Ce problème de raccordement est particulièrement intéressant. De mémoire il y a 48 cas possibles, que l'on peut ramener à un plus petit nombre. Il y a des cas qui se résolvent de façon analytique, d'autre qui ne peuvent se résoudre que par approximations successives. Je pense l'avoir résolu de façon exhaustive. Si ça t'intéresse ...
Fin de hors-sujet.

[chan79]

chan79, le probleme avec ta reponse (meme si elle est bonne) c'est que le cours que simmath suis est le premier cour de calcul differentiel et integral, alors nous ne savons pas utiliser les vecteurs dans ce genre de situation (je suis dans le meme cour que lui je pense, j'ai le meme numero a faire). Mais le probleme, c'est qu'il est supposer y avoir deux autres tangente, une au dessus des cercles et une en dessous.

Salut
L'équation d'une droite (et ses vecteurs directeurs et normaux) est de niveau lycée. On peut aussi procéder ainsi, même si c'est se compliquer la vie:
Si on considère le cercle C d'équation x²+y²-16=0 et un de ses points M(a,b), la tangente en M a comme équation
avec a²+b²=16



L'équation de la tangente en M est :
(x-a)2a+(y-b)2b=0
a(x-a)+b(y-b)=0
ax+by=16
cela même aux points de contacts (du cercle de rayon 4)
(4,0)

[hammana]

Salut
L'équation d'une droite (et ses vecteurs directeurs et normaux) est de niveau lycée. On peut aussi procéder ainsi, même si c'est se compliquer la vie:
Si on considère le cercle C d'équation x²+y²-16=0 et un de ses points M(a,b), la tangente en M a comme équation
avec a²+b²=16



L'équation de la tangente en M est :
(x-a)2a+(y-b)2b=0
a(x-a)+b(y-b)=0
ax+by=16
cela même aux points de contacts (du cercle de rayon 4)
(4,0)

On peut facilement résoudre le problème avec Thalès
Appelons M l'itersection de la tangente (autre que x=4) avec Ox. Posons OM=x
il est évident que x/(x-7)=4/3, x=28
(on vérifie que cos(alpha)= 4/28=1/7 comme démontré par Chan)
Si N est l'intersection avec Oy on calcule facilement ON=4*28/sqr(28^2-16)

[chan79]

On peut facilement résoudre le problème avec Thalès
Appelons M l'itersection de la tangente (autre que x=4) avec Ox. Posons OM=x
il est évident que x/(x-7)=4/3, x=28
(on vérifie que cos(alpha)= 4/28=1/7 comme démontré par Chan)
Si N est l'intersection avec Oy on calcule facilement ON=4*28/sqr(28^2-16)

Ah oui, bien vu !