Image d'un intervalle - Fonction continue

[S@T-Vision-@li]

Je cherche démontrer ceci :
Soit f une fonction continue sur [a;b]
Montrer que
SI f([a;b]) [a;b]
ALORS
il existe x [a;b] tel que : f(x) = x.

J'arrive à prouver que
Lorsque f continue on sait que l'image d'un intervalle est un intervalle
donc si f([a;b]) [a;b] alors quelque soit x [a;b] => f(x) [a;b]
( I J ==> tout élément de I a une image dans J )
Comment faire pour terminer ?
aidez moi et merci

[Yann64]

Je cherche démontrer ceci :
Soit f une fonction continue sur [a;b]
Montrer que
SI f([a;b]) [a;b]
ALORS
il existe x [a;b] tel que : f(x) = x.

J'arrive à prouver que
Lorsque f continue on sait que l'image d'un intervalle est un intervalle
donc si f([a;b]) [a;b] alors quelque soit x [a;b] => f(x) [a;b]
( I J ==> tout élément de I a une image dans J )
Comment faire pour terminer ?
aidez moi et merci

Le théorème qui dit que l'image d'un fermé borné par une fonction continue est un fermé borné.
f([a,b]) = [m,M]
avec
(f est bornée et atteint ses bornes)

on peut choisir la suite définie par récurrence à partir de f


Mais le théorème du point fixe est un théorème qui a au départ de hypothèses plus fortes que les tiennes, à savoir, que la fonction f est k contractante, i.e.

dans ces conditions f admet un point fixe ilexiste x tel que f(x)=x, et toute suite définie par récurrence à partir de f converge vers ce point fixe.
D'autre part, on note l'intervalle et f est définie comme

[S@T-Vision-@li]

J'ai pas vraiment compris
pouvez vous me clarifier la tâche , même un peu plus facilement que précédemment

[Yann64]

J'ai pas vraiment compris
pouvez vous me clarifier la tâche , même un peu plus facilement que précédemment

C'est un théorème de cours
Théorème :
Soit telle que pour tout x de I et pour tout y de I,
|f(x)-f(y)| l x_n+1 --->l f(x_n) --->l
par continuité, on a l = f(l)

[S@T-Vision-@li]

c'est mon essai !
est ce vrai ?

f([a;b]) ;) [a;b]ù

signifie : quelques soit x appartenant à [a;b]ù
( càd a<=x<=b )
alors f(x) appartient à [a;b]ù
( càd a<= f(x) <= b )
soit g(x) = f(x) - x
or : a<= f(x) <= b
en remplaçant par a : j'obtiens
1 a<=f(a)<=b ù
en remplaçant par b : j'obtiens
2 a<=f(b)<=b ù


donc
d'apres 1
a<= f(a) ù
d'apres 2
f(b)<=b


donc
ù 0 >=g(b) ù
ù 0 <=g(a) ù

donc
ùg(a) >=0 >=g(b) ù



si
g(a) = 0
alors a est fixe
si
g(b) = 0
alors b est fixe
sinon
g(x) = 0 admet au moins une solution
d'où le resultat

[Yann64]

c'est mon essai !
est ce vrai ?

f([a;b]) [a;b]ù

signifie : quelques soit x appartenant à [a;b]ù
( càd a=g(b) ù
ù 0 =0 >=g(b) ù



si
g(a) = 0
alors a est fixe
si
g(b) = 0
alors b est fixe
sinon
g(x) = 0 admet au moins une solution
d'où le resultat

C'est vrai parce que la fonction est continue et par le théorème des valeurs intermédiaires, si g(a)> 0 > g(b) il existe ... etc

C'est donc vrai

[S@T-Vision-@li]

Merci cher yann