Exercice sur les suites de Terminale S

[PetitLu]

Bonjour à tous,
alors voilà j'ai un exercice, pour lundi, sur les suites qui me pose problème sur certains points donc j'aimerai bien votre aide. Merci d'avance.

Avec _n qui veut dire indice n et ^n qui veut dire puissance n :

On considère la suite u définie par : u_0 = 1 et pour tout n appartenant à N , u_n+1= ((1/3)u_n)+n-2
1) calculer u_1, u_2 et u_3.
J'ai trouvé : u_1 = -(2/3) ; u_2 = -(2/9) et u_3 = 25/27
2)a) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 4, u_n supérieur ou égal à 0
J'ai essayé par récurrence mais j'ai pas réussi...
b) En déduire pour tout entier naturel n supérieur ou égal 5 : u_n supérieur ou égal à n-3
Je n'y suis pas non plus arrivé
c) En déduire la limite de la suite u
J'ai conjecturé que c'était +l'infini mais c'est tout..
3) On définit la suite v pour tout n appartenant à N par :
v_n = -2u_n + 3n -21/2
a) Démontrer que la suite v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
J'ai pas réussi à trouver la raison par la formule v_n+1/v_n
b) En déduire que pour tout n appartenant à N :
u_n = 25/4(1/3)^n + (3/2)n -(21/4)
J'ai pas réussi non plus même en supposant vrai ce qui est écris précédemment.
c) Retrouvez par le calcul la limite de la suite u.
J'ai quasi réussi mais je sais pas ce qui me bloque..

Merci d'avance de votre aide. Bon week end.

[tototo]

Bonjour à tous,
alors voilà j'ai un exercice, pour lundi, sur les suites qui me pose problème sur certains points donc j'aimerai bien votre aide. Merci d'avance.

Avec _n qui veut dire indice n et ^n qui veut dire puissance n :

On considère la suite u définie par : u_0 = 1 et pour tout n appartenant à N , u_n+1= ((1/3)u_n)+n-2
1) calculer u_1, u_2 et u_3.
J'ai trouvé : u_1 = -(2/3) ; u_2 = -(2/9) et u_3 = 25/27
2)a) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 4, u_n supérieur ou égal à 0

n

u_n+1= ((1/3)u_n)+n-2

J'ai essayé par récurrence mais j'ai pas réussi...
b) En déduire pour tout entier naturel n supérieur ou égal 5 : u_n supérieur ou égal à n-3
Je n'y suis pas non plus arrivé
c) En déduire la limite de la suite u
un est la somme d'une suite géométrique de raison (1/3)(tend vers 0 lorsque n-> +infini) et de n+2
pour n->+infini u_n->+infini

J'ai conjecturé que c'était +l'infini mais c'est tout..
.
3) On définit la suite v pour tout n appartenant à N par :
v_n = -2u_n + 3n -21/2
a) Démontrer que la suite v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
J'ai pas réussi à trouver la raison par la formule v_n+1/v_n=(-2u_n+1 + 3(n+1) -21/2)/(-2u_n + 3n -21/2)=(-2( ((1/3)u_n)+n-2) + 3(n+1) -21/2)/(-2u_n + 3n -21/2)=1/3 = raison




b) En déduire que pour tout n appartenant à N :
u_n = 25/4(1/3)^n + (3/2)n -(21/4)
v_n=(-25/2)(1/3)^n
v_n = -2u_n + 3n -21/2
u_n= 25/4(1/3)^n + (3/2)n -(21/4)
c) Retrouvez par le calcul la limite de la suite u.
en +infini (3/2)n->+infini et 25/4(1/3)^n->0 donc u_n->+infini
Merci d'avance de votre aide. Bon week end