Rotation dans R^3

[cendrillon]

Bonsoir,
je cherche une méthode pour trouver l'angle de rotation d'une rotation en 3 dimensions, j'ai trouvé sur un autre forum une méthode qui ne m'a pas l'air complète ...

"bonjour, une recette

1) trouver l'axe orienté D de f en résolvant MX=X , X dans M3,1(lR)

2) trouver angle a de la rotation

2-1) déterminer cos(a) par tr(f) = 1 + 2cos(a)

2-2) sin(a) est du signe du produit mixte [ x, f(x) ,u ] pour n'importe quel vecteur x non colinéaire à u ,et u est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe D"

Si quelqu'un pouvait m'éclairer (en particulier sur le point 2-2) :we:
Merci !

[Judoboy]

C'est défini comment l'angle d'une rotation dans l'espace (c'est une vraie question, j'ai pas fait de géométrie affine depuis super longtemps) ?

[cendrillon]

C'est défini comment l'angle d'une rotation dans l'espace (c'est une vraie question, j'ai pas fait de géométrie affine depuis super longtemps) ?

c'est de la géométrie euclidienne.

[Judoboy]

c'est de la géométrie euclidienne.

Oui euh bon ça va hein.

[wserdx]

Je ne connais plus très bien la terminologie des rotations, mais elles doivent avoir pour propriétés que leurs valeurs propres ont 1 pour module.
Comme on est en dimension 3, les valeurs propres sont nécessairement 1, et (deux d'entre elles sont conjuguées)
Le déterminant vaut 1 (c'est le produit des valeurs propres). La trace vaut , c'est la somme des valeurs propres.
est l'angle de rotation. Il y a nécessairement une droite stable (associée à la valeur propre 1)
Dans une base orthonormée directe dont le premier vecteur est un vecteur directeur de la droite stable, la restriction de la rotation au plan restant est une rotation de plan "classique".
Pour orienter la rotation et donner un signe à , il faut orienter la droite et faire un choix (il y a deux directions possibles). Une fois que ce choix est fait, le signe de la rotation est effectivement le signe du déterminant , quelconque n'étant pas colinéaire à .

Exemple : si tu regardes une toupie tourner sur une plaque de verre, tu diras qu'elle ne tourne pas dans le même sens (horaire ou antihoraire) selon que tu la regardes par au-dessus ou au-dessous.

[chan79]

Bonsoir,
je cherche une méthode pour trouver l'angle de rotation d'une rotation en 3 dimensions, j'ai trouvé sur un autre forum une méthode qui ne m'a pas l'air complète ...

"bonjour, une recette

1) trouver l'axe orienté D de f en résolvant MX=X , X dans M3,1(lR)

2) trouver angle a de la rotation

2-1) déterminer cos(a) par tr(f) = 1 + 2cos(a)

2-2) sin(a) est du signe du produit mixte [ x, f(x) ,u ] pour n'importe quel vecteur x non colinéaire à u ,et u est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe D"

Si quelqu'un pouvait m'éclairer (en particulier sur le point 2-2) :we:
Merci !

salut
ta rotation est définie comment ?

[wserdx]

salut
ta rotation est définie comment ?

Je présume qu'il s'agit d'une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Une question un peu semblable a été posée ici
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=131381&highlight=rotation
Personnellement, je n'aime pas tellement travailler avec les angles eux-même, je préfère avec leurs lignes trigonométriques.
"Angle de rotation" dans l'espace n'est pas vraiment défini. Est-ce dans LE plan de rotation, qu'il faudrait d'ailleurs définir, est-ce la combinaison des angles suivant les 3 axes ? On ne sait pas vraiment.

[Sylviel]

Une rotation dans l'espace est effectivement une application linéaire qui admet entre autres 1 comme caleur propre. Le vecteur propre associé définie la direction laissée invariante par la rotation. Dans l'espace vectoriel orthogonal (donc un plan) on a une rotation usuelle, dont l'angle est très bien défini.