Série entière sympa

[nekros]

Salut,

Pour tout , désigne la nième décimale de , determiner le rayon de convergence de la série entière

Bonne chance.

Thomas G :zen:

[Sdec25]

Salut
On peut déjà dire que car donc converge.

La nième décimale est égale à

La partie entière de x équivaut à x en

si les 2 sommes convergent.

Le rayon de convergence de ces 2 sommes est de 0,1 mais il faudrait montrer que le rayon de CV de la somme est aussi égal à 0,1...
Il y a sûrement un piège quelque part ! Pourquoi le nombre ?

[nekros]

Salut,

L'idée de départ est excellente car on l'utilise dans la démo (décomposition de avec des puissances de 10) : mais cela suppose que est un rationnel !

Cependant, le rayon de convergence n'est pas 1.

Thomas G :zen:

[Sdec25]

Cependant, le rayon de convergence n'est pas 1.

Tu veux plutôt dire que le rayon n'est pas 0,1 ?

[nekros]

Désolé je ne comprends pas...

Thomas G :zen:

[quinto]

Je dirais que le rayon de convergence est justement de 1.
Pour x<1, c'est clair que l'on a la convergence puisque a(n)<10 pour tout n et donc S(x) la série entière associée est inférieure à 10/(1-x).

Donc R>=1
mais en x=1 on a divergence car racine de 2 est irrationnel et si on avait convergence, alors on aurait une somme d'entiers positif qui converge, donc c'est que la suite que l'on somme est nécessairement stationnaire sur 0, ce qui est impossible puisque racine de 2 est irrationnel.

Ca a du sens?
a+

[nekros]

Oui :++:

Thomas G :zen:

[nekros]

Je donne mon raisonnement :

On a
On peut donc poser , , , ,...
On remarque donc nécessairement que
Donc, pour , la suite est bornée et donc du lemme d'Abel, on en déduit que .

D'autre part, car diverge c'est-à-dire par définition que ne tend pas vers .

Démo : (par l'absurde)
Supposons que tende vers . Comme est une suite d'entiers, alors est stationnaire à partir d'un certain rang, c'est-à-dire qu'il existe tel que , on a d'après l'hypothèse.

On aurait donc
Ainsi, ce qui est absurde d'où la contradiction.
On en déduit donc que la série diverge, et donc que

Conclusion :

Thomas G :zen:

Merci d'avoir participé !