Raisonnement par récurrence

[mariinel]

Bonjour à tous voilà j'ai un Dm, et je bloque sur une question, celle-ci est:

"Uo=1 et
Un+1= Un + 1/Un
Montrer à l'aide la fonction associé que pour tout n appartenant à N, Un > ou égal à 1, puis déterminer le sens de variation"

Pour montrer que Un > ou égal à 1, il faut donc faire le raisonnement par récurrence, j'ai donc fait l'initialisation Uo= 1, Uo > ou égal à 1.
Mais pour l'hérédité j'ai un problème, il faut donc que je montre que Un+1 > ou égal à 1,
On part donc de l'hypothèse de récurrence soit Un > ou égal à 1, mais je n'arrive pas à le démontrer...


Une idée? :)

[mathtiti]

Bonjour à tous voilà j'ai un Dm, et je bloque sur une question, celle-ci est:

"Uo=1 et
Un+1= Un + 1/Un
Montrer à l'aide la fonction associé que pour tout n appartenant à N, Un > ou égal à 1, puis déterminer le sens de variation"

Pour montrer que Un > ou égal à 1, il faut donc faire le raisonnement par récurrence, j'ai donc fait l'initialisation Uo= 1, Uo > ou égal à 1.
Mais pour l'hérédité j'ai un problème, il faut donc que je montre que Un+1 > ou égal à 1,
On part donc de l'hypothèse de récurrence soit Un > ou égal à 1, mais je n'arrive pas à le démontrer...


Une idée?

Idée :

Si Un >= 1
On a aussi Un > 0 et donc 1/Un > 0 (définit car Un 0)
Ainsi Un + 1/Un >= 1 (somme d'un nombre > 1 et d'un nombre > 0)
Soit Un+1 >= 1

Donc
U0 >= 1
et Si Un >= 1 => Un+1 >= 1
Donc pout tout n app N on a Un >= 1 par récurrence

[mariinel]

Ah oui merci beaucoup, et pour déterminer les variations de la suite, il faut aussi faire un raisonnement par récurrence non?

Mais je rencontre encore un problème, je veux montrer donc que Un =< Un+1

Pour l'initialisation j'ai donc fait
U0= 1 et U1= 2
Uo =< U1

Et pour l'héridité je veux montrer que Un+1 =< Un+2

Je voulais partir de l'hypothèse de récurrence Un=ajouter Un et la fonction inverse,
mais je me retrouve avec Un + 1/Un =< Un + 1/Un+1
Ce qui fait pas Un+1 =< Un+2 ...

[mathtiti]

[quote="mariinel"]Ah oui merci beaucoup, et pour déterminer les variations de la suite, il faut aussi faire un raisonnement par récurrence non?

Mais je rencontre encore un problème, je veux montrer donc que Un == 0 soit comme vu précédemment 1/Un >= 0 (car Un >= 1)
Donc on a 1/Un >= 0
soit encore Un + 1/Un >= Un
Ce qui revient à Un+1 >= Un

Et hop la récurrence,
U1 >= U0
et Un+1 >= Un