Arithmétique

[Madarivo]

Bonjour à tous !

Je cherche à résoudre dans N* x N* x N* l'équation m² + n² = k², avec m^n = 1.
Pour ça, je suis guidé à travers plusieurs étapes.

Première étape :

Montrer que m et n sont de parité différente.
Pour cela, j'ai décidé de raisonner par l'absurde. Je suppose donc que m et n sont de même parité. On se retrouve alors avec deux cas :

1) m et n sont pairs : si m et n sont pairs, on peut alors les écrire m = 2k et n = 2k' avec k,k' dans N*. Comme m^n = 1, il existe u et v tels que um + vn = 1 (Bezout). On réécrit cette relation : u(2k) + v(2k') = 1. On factorise alors par deux : 2(uk + vk') = 1 d'où une contradiction car 1 est impair.

2) m et n sont impairs : cette fois, je suppose m et n tous les deux impairs. On peut donc les écrire m = 2k +1 et n= 2k' + 1, avec k,k' dans N*.
Pour ce deuxième cas, je ne vois pas comment extraire une contradiction, mais je suis persuadé que ce n'est pas très compliqué...

Si quelqu'un pouvait me débloquer, ça serait super sympa ! Merci.

[DamX]

Bonjour,

Tu aimes bien te compliquer pour le cas pair. S'ils sont tous les deux pairs, ils sont tous les deux divisibles par deux et donc ne sont pas premiers entre eux :)

m^2 + n^2 = p^2 (je l'appelle p parce que tu utilises k pour autre chose)

Pour le cas impairs, regarde deux choses :
1) quelle est la parité de p^2 dans ce cas, et donc quelle est celle de p, et au final par quoi est divisible p^2 ?

2) par ailleurs développe (2k+1)^2 + (2k'+1)^2, et du coup par quoi est divisible p^2 - 2

Contradiction entre 1) et 2) ?

[Madarivo]

Bonjour,

Déjà, merci pour ta réponse ! C'est vrai que je me suis compliqué le truc, c'est bien plus simple comme ça (j'ai souvent du mal à voir les choses "visibles" facilement).

Pour le cas impair, j'ai suivi ta démarche et j'arrive à :

1) p^2 impair car somme de deux carrés, donc p impair.
2) En développant, on a p^2 -2 divisible par deux, donc p^2 divisible par 2.

Contradiction entre 1) et 2).

C'est bien ça ?

[DamX]

Bonjour,

Déjà, merci pour ta réponse ! C'est vrai que je me suis compliqué le truc, c'est bien plus simple comme ça (j'ai souvent du mal à voir les choses "visibles" facilement).

Pour le cas impair, j'ai suivi ta démarche et j'arrive à :

1) p^2 impair car somme de deux carrés, donc p impair.
2) En développant, on a p^2 -2 divisible par deux, donc p^2 divisible par 2.

Contradiction entre 1) et 2).

C'est bien ça ?

p^2 impair comme somme de deux carres ? Tu es sur ? Quelle est la parité de m^2, quelle est celle de n^2 ? et donc quelle est la parité de p^2 ?

[Madarivo]

p^2 impair comme somme de deux carres ? Tu es sur ? Quelle est la parité de m^2, quelle est celle de n^2 ? et donc quelle est la parité de p^2 ?

Si p^2 est somme de deux carrés, alors il est congru à 1 modulo 4 vu qu'il est différent de 2 (car racine de 2 n'est pas naturel), non ?^^

[DamX]

Si p^2 est somme de deux carrés, alors il est congru à 1 modulo 4 vu qu'il est différent de 2 (car racine de 2 n'est pas naturel), non ?^^

Euh... 5^2 + 7^2 = 74 est congru à 1 modulo 4 ? Oo. Teste sur un exemple avant de balancer des trucs pareil

Non bon, je t'avance..

m^2 est impair comme m.
n^2 est impair comme n.
Alors p^2 est pair comme somme de deux impair.

Et si 2 divise p^2, alors 2 divise forcement p.
Et si 2 divise p, alors 4 divise p^2.

Ca c'était le 1). Dans le 2) je te laisse faire ce que je t'ai dit, et tu devrais arriver à montrer que 4 ne divise pas p^2 justement..

Damien